Задача по геометрии из задачника Гордина

[Viete]

Точка $C$ - середина отрезка $AB$. На отрезках $AC$ и $CB$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ , причем $AM : MC = CN : NB$.
Докажите, что отрезок $MN$ равен половине отрезка $AB$.

Из равенства $AM : MC = CN : NB$ следует равенство $AM : AC = CN : CB$ Обозначим $AM : AC = CN : CB = k, AC = CB = a$

Тогда $AM = kAC = ka, MC = AC − AM = a − ka, CN = kCB = ka$.

Следовательно, $MN = MC + CN = a − ka + ka = a = \frac{1}{2} \times AB$

У меня вопрос, как из равенства $AM : MC = CN : NB$ следует равенство $AM : AC = CN : CB$ ?

Помогите пожалуйста, 7 класс

[wrest]

Viete в сообщении #1530407 писал(а):

У меня вопрос, как из равенства $AM : MC = CN : NB$ следует равенство $AM : AC = CN : CB$ ?

Так у вас же и написано как.
Пусть $MC:AM=NB:CN=x$
Тогда $MC=x \cdot AM$ и $NB= x \cdot CN$
Поскольку $AC=AM+MC$ то $AC=AM(x+1)$ и $AM:AC=1:(x+1)$
Так же $CB=CN+NB$ и $CB=CN(x+1)$ и $CN:CB=1:(x+1)$
Откуда и видим что $AM:AC=CN:CB=1:(1+x)$
Ну то есть чисто алгеброй получаем.

Ой.. а $C$ ещё и середина $AB$ оказывается то есть $AC=CB$. Тогда ж все гораздо легче будет...

[Viete]

wrest в сообщении #1530414 писал(а):

Viete в сообщении #1530407 писал(а):

У меня вопрос, как из равенства $AM : MC = CN : NB$ следует равенство $AM : AC = CN : CB$ ?

Так у вас же и написано как.
Пусть $MC:AM=NB:CN=x$
Тогда $MC=x \cdot AM$ и $NB= x \cdot CN$
Поскольку $AC=AM+MC$ то $AC=AM(x+1)$ и $AM:AC=1:(x+1)$
Так же $CB=CN+NB$ и $CB=CN(x+1)$ и $CN:CB=1:(x+1)$
Откуда и видим что $AM:AC=CN:CB=1:(1+x)$
Ну то есть чисто алгеброй получаем.

Ой.. а $C$ ещё и середина $AB$ оказывается то есть $AC=CB$. Тогда ж все гораздо легче будет...

Понял, благодарю!