Гауссовские меры

[citadeldimon]

Здравствуйте, уважаемые коллеги!
У меня сложилась следующая непонятка относительно гауссовских мер. Она
состоит в следующем:
1. Для пространства $\mathbb{R}$ мы определяем меру следующим образом:

Определение. Вероятностная мера $\gamma$ на прямой называется
гауссовской, если она либо является дираковской мерой $\delta_a$,
сосредоточенной в точке а, либо имеет плотность $p( ,a,\sigma^2):t\to\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\{-\frac{(t-a)^2}{2\sigma^2}\}$
относительно меры Лебега.
И тогда меру измеримого множества Е можно посчитать следующем образом:
$\gamma(E)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{E} \exp\{-\frac{(t-a)^2}{2\sigma^2}\}dt.$

2. Для пространства $\mathbb{R}^n$ мы определяем меру следующим образом:

Определение. Вероятностная мера $\gamma$ на $\mathbb{R}^n$ называется гауссовской, если для каждого линейного функционала $l$ на $\mathbb{R}^n$ индуцированная мера $\gamma \circ l^{-1}$ — гауссовская.

Вопрос. Как тогда посчитать меру измеримого множества Е через
интеграл? И может ктото напишет пример гауссовской мери на
$\mathbb{R}^n$ и $l_2$ (пространство последовательностей сходимых с
квадратом).

Определения были взяты с книги Богачев "Гауссовские меры".

Всем спасибо за внимание!

[PAV]

Этот вопрос (применительно к пространству $\mathbb{R}^n$) очень подробно изложен в учебнике Ширяева "Вероятность", раздел "Гауссовские системы". Говоря кратко, если матрица ковариаций вырождена, то и мера является вырожденной и плотности не существует (аналог меры, сосредоточенной в точке, на прямой). Если же матрица невырождена, то существует известная формула для плотности.

[citadeldimon]

PAV Спасибо за ссылку - недосмотрел, но остается открытым вопрос насчет пространства $l_2$, как там? Очень нужен пример меры в этом пространстве.

[PAV]

Ну так по-моему в Богачеве в разделе 2.2 пример 2.2.3 - похоже на то, что требуется.

[citadeldimon]

И как тогда понимать следующий интеграл $\int\limits_E \gamma(dt)$. То есть главной непоняткой есть конструкция гауссовой меры на $l_2.$

[Henrylee]

citadeldimon писал(а):

То есть главной непоняткой есть конструкция гауссовой меры на $l_2.$

А конструкция вообще любой меры на бесконечномерном пространстве понятна?
Что до гауссовской, то ее можно задать на пространстве $R^\infty$ ковариационным оператором, который как известно симметричен и положителен (и средним значением) . Чтобы эта меры была сосредоточена конкретно на $l_2$, ков. оператор непременно должен быть ядерным, т.е ряд из его собственных чисел должен сходится.
Или Вы про что-то другое?
Про то, как считать.
Поскольку задана мера (характеристическим функционалом), то заданы и все ее проекции (согласованная система конечномерных распределений) на выбранную систему базисных векторов (лучше всего, если это будет система собственных векторов ковариационного оператора, тогда выражения проще), (или, иначе, цилиндрическая мера в $l_2$) поскольку известны их хар. функции, то и плотности тоже. Теперь можно исходное множество $E$ в $l_2$ представить как бесконечное пересечение цилиндров с конечномерными основаниями. Останется показать, что мера исходного множества есть предел последовательнотси мер цилиндров, которые уже вычисляются.
А уБогачева в примере 2.2.3 гауссовская мера не на $l_2$, а на $R^\infty$, и там

$$ \gamma(l_2)=0, $$

а ков. оператор не ядерный, у него собственные числа похоже единички
А вот 2.2.4 в тему.

[citadeldimon]

Henrylee Спасибо! Ситуация разъясняется. Еще нашел книгу Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах - там целая глава на эту тему, думаю многие моменты там есть. Как прочитаю - отпишусь.

[Henrylee]

Могу еще парочку книг присоветовать
Го Х.С. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Вахания Тариеладзе Чобанян Вероятностные распределения в банаховых пространствах
В них случай гильбертовых пространств тоже найдете

[citadeldimon]

Henrylee книга Го Х.С. Гауссовские меры в банаховых пространствах у меня есть, а от с книгой Вахания Тариеладзе Чобанян Вероятностные распределения в банаховых пространствах - некоторые проблемы, не могу ее нигде найти. Если она у Вас есть в электронном варианте, то не могли Вы выслать ее мне? Я был бы очень благодарен. Спасибо.

[Henrylee]

К сожалению только бумажная..

[pasha_ch]

Подскажите, пожалуйста, где можно скачать книгу Го "Гауссовские меры в банаховых пространствах"?

[citadeldimon]

pasha_ch
ответил в личку.