Вариационное исчисление

[marie-la]

Вертолёт движется прямолинейно и равномерно со скоростью $V$. Справа на расстоянии $L$ замечают плот. Построить траекторию полёта, двигаясь по которой, вертолёт пролетит в точности над плотом через минимальное время. Максимально возможное ускорение в любом направлении $a$. Считать, что ускорение может быть приложено в любом направлении в любой момент времени.

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я мыслю. Во-первых, модуль ускорения должен быть постоянен и равен максимальному, поскольку время можно улучшить, пройдя по той же траектории с максимальным ускорением. И второе - у меня получилось, когда я выписала уравнение Эйлера и прочее, что ускорение постоянно и по направлению. Это правда?

[thething]

Неверная формализация удалена, дабы не сбивать никого с толку.

[marie-la]

thething в сообщении #1529810 писал(а):

Ось $t$ направим вправо, ось $x$ направим вниз.

Тут две оси $x,y$, и время $t$, по которому производные берутся. То есть изначалоно $x(0)=0,y(0)=0, \dot{x}(0)=0, \dot{y}(0)=V$, нужно минимизировать $T$, для которого $x(T)=L,y(T)=0$. Условие на ускорение есть $\ddot{x}^2(t)+\ddot{y}^2(t)\leq a^2$

[Red_Herring]

Классический пример задачи, в которой "многие знания приводят к многим скорбям". Рассмотрим ИСО в которой начальная скорость вертолета равна $0$ и пусть $x(t)$ это известная траектория цели. Пусть $\tau(x)$ это минимальное время потребное для вертолета чтобы попасть в $x$. Разумеется, это будет прямолинейное равноускоренное движение с максимальным ускорением. Рассмотрим $f(t):=\tau(x(t))-t$ ($t>0$). Тогда $f(0)>0$, а если скорость цели ограничена, то $f(t)<0$ при больших $t>0$. Значит, $f(t)=0$ имеет корни, минимальный из них и будет искомым временем. Ну а движение вертолета прямолинейным равноускоренным.

[marie-la]

Red_Herring в сообщении #1529834 писал(а):

Разумеется, это будет прямолинейное равноускоренное движение с максимальным ускорением.

Отлично! Значит, ускорение постоянно и в исходной системе отсчета, поэтому я всё правильно решила. Спасибо!

[nnosipov]

(Оффтоп)

marie-la
Давно хотел спросить, где Вы учитесь (если не секрет, конечно). У Вас всегда довольно содержательные вопросы.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

marie-la в сообщении #1529837 писал(а):

поэтому я всё правильно решила. Спасибо!

Там ещё по условию траекторию надо найти. Но это уже несложно.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1529852 писал(а):

Может я неправильно понял условие, но но ответ с прямолинейным движением кажется странным.

Оно будет таким в той ИСО, где начальная скорость вертолета ноль.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1529853 писал(а):

Оно будет таким в той ИСО, где начальная скорость вертолета ноль.

Я извиняюсь. Сначала прочёл ответ и написал какую-ту ерунду. Потом начал читать решение и сразу свой пост затёр . Удалить пост не получилось. Поэтому написал что-то очевидное. Хотя, наверное, в таких случаях можно оставить пост с одной точкой.