Из статьи Иохвидов И. С. О ганкелевых матрицах и формах. // Ма-тем. сб., 1969, том 80, 241–252
Цитата:
Продолжением ганкелевой матрицы
![$H_{n-1}$ $H_{n-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8603cbb2b93c3b8c30d813820ac830c82.png)
назовём ганкелеву матрицу
![$H_{n-1+\nu} = ||s_{i+j}||_{i,j=0}^{n-1+\nu}$ $H_{n-1+\nu} = ||s_{i+j}||_{i,j=0}^{n-1+\nu}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/3/0f3da14ec511c59decaba2a2222efd5e82.png)
(при любом фиксированном
![$\nu=1,2,…,\infty$ $\nu=1,2,…,\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/6/70622d2a01da8a4d422882bd50d9110f82.png)
), у которой блок совпадает с матрицей
![$H_{n-1}$ $H_{n-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8603cbb2b93c3b8c30d813820ac830c82.png)
.
<..>
Если ранг матрицы
![$H_{n-1}$ $H_{n-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8603cbb2b93c3b8c30d813820ac830c82.png)
равен
![$\rho$ $\rho$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6dec54c48a0438a5fcde6053bdb9d71282.png)
(
![$ 0 \le \rho \le n$ $ 0 \le \rho \le n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/d/68d52706ee7c55473211cead86f1acb682.png)
), то особыми продолжениями
![$H_{n-1+\nu}$ $H_{n-1+\nu}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/d/61d39d625f58ded7ef5287336013608e82.png)
(
![$\nu = 1,2,\ldots$ $\nu = 1,2,\ldots$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/c/0fc920aab7e767faa87d663f56cf37b582.png)
) назовём те продолжения матрицы
![$H_{n-1}$ $H_{n-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8603cbb2b93c3b8c30d813820ac830c82.png)
, ранги которых остаются равными
![$\rho$ $\rho$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6dec54c48a0438a5fcde6053bdb9d71282.png)
.
<…>
Лемма 2. Если ранг ганкелевой матрицы
![$H_{n-1}$ $H_{n-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8603cbb2b93c3b8c30d813820ac830c82.png)
равен
![$\rho (<n)$ $\rho (<n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/a/2da9b1161ad7cfaf346e76a778430ca482.png)
и
![$D_{\rho-1} \ne 0$ $D_{\rho-1} \ne 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/4/73468aa7126356c8b3303aa9863806cd82.png)
, то у
![$H_{n-1}$ $H_{n-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8603cbb2b93c3b8c30d813820ac830c82.png)
существует единственным образом определяющееся особое продолжение
![$H_n$ $H_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/b/f7b409f9967f1de85ee740bebe5d41ab82.png)
.
Обратим внимание: особое продолжение строится для квадратной матрицы (по определению) и условием леммы 2 является равенство нулю определителя этой квадратной матрицы.
В приведенном выше сообщении задаётся вектор [1,2,3,4] — первая строка ганкелевой матрицы. Используя элементы этого вектора, можно получить при помощи функции
hankel квадратную матрицу, но её определитель не равен нулю
>> MM = hankel([1,2,3,4])
MM = 1 2 3 4
2 3 4 0
3 4 0 0
4 0 0 0
>> det(MM)
ans = 256
Продолжением матрицы 4x4 будет матрица 5x5.
Мне нужно получить ганкелеву матрицу того же порядка, правый нижний угол которой является ее особенным единственным продолжением. Как?
P.S. О том, что это за продолжение см. Лемма 2 стр.242 вот здесь.
Так как просят получить матрицу того же порядка, то, видимо, строится продолжение для матрицы, получающейся отбрасыванием последней строки и последнего столбца. Однако определитель такой матрицы не равен нулю
>> MM(:, 4) = []; MM(4, :)=[]
MM = 1 2 3
2 3 4
3 4 0
>> det(MM)
ans = 5.0000
Если ещё раз отбросить последнюю строку и столбец, то всё равно определитель не равен нулю. Т.е. как использовать лемму 2, не очевидно. Приведенная в качестве результата квадратная матрица имеет ранг 4, а матрица 3x3 ранг 3
>> M = [1,2,3,4; 2,3,4,-10; 3,4,-10,1; 4,-10, 1, 2]
M = 1 2 3 4
2 3 4 -10
3 4 -10 1
4 -10 1 2
>> rank(M)
ans = 4
>> M(:, 4) = []; M(4, :) = []
M = 1 2 3
2 3 4
3 4 -10
>> rank(M)
ans = 3
Т.е. не является особым продолжением [как оно определено в статье Иохвидов И. С. О ганкелевых матрицах и формах.].