Линейное подпространство

[DxHater]

В "Линейной алгебре и геометрии" под авторством А.И.Кострикина и Ю.И. Манина приведено следующее определение линейного подпространства:
Пусть L-линейное подпространство над полем K, а M-его подмножество, которое является подгруппой и которое переходит в себя при умножении на скаляры. Тогда M вместе с операциями, индуцированными операциями в L, называется линейным подпространством в L.
Собственно, вопрос: почему линейное подпространство является подгруппой? Т.е. по определению подгруппы, оно должно содержать единичный элемент из M, хотя в других учебниках достаточно того, чтобы сумма двух элементов и умножение элемента на скаляр, содержались в M.

[demolishka]

DxHater в сообщении #1529161 писал(а):

единичный элемент

А кто такой этот единичный элемент?

[Gagarin1968]

demolishka в сообщении #1529162 писал(а):

А кто такой этот единичный элемент?

Вышеозначенный учебник - сорокалетней давности, поэтому ТС пользуется несколько устаревшей терминологией.
В современных учебниках используется "нейтральный элемент" (в англоязычной литературе - neutral element или identity element).

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1529168 писал(а):

Вышеозначенный учебник - сорокалетней давности, поэтому ТС пользуется несколько устаревшей терминологией.

Учебник здесь совершенно не при чем (он, кстати, вполне современен, хоть и 40-летней давности), в нем Вы не найдете фразы "единичный элемент". Дело в другом: "единичный элемент" есть в том определении подгруппы, которое знает ТС (обычно про группы и подгруппы рассказывают --- и на лекциях, и в учебниках --- используя мультипликативную терминологию и нотацию). Но то, что бывают и аддитивные группы (где групповая операция называется сложением и где аддитивная терминология и нотация совершенно естественна), студенты часто забывают. Точнее, они забывают "переводить" общее определение чего-либо (как правило, данное только в одной терминологии, обычно мультипликативной) на язык соответствующего примера. Отсюда и возникающее у них непонимание в стиле: "Муму" написал Тургенев, а памятник почему-то Пушкину.

[DxHater]

nnosipov в сообщении #1529171 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1529168 писал(а):

Вышеозначенный учебник - сорокалетней давности, поэтому ТС пользуется несколько устаревшей терминологией.

Учебник здесь совершенно не при чем (он, кстати, вполне современен, хоть и 40-летней давности), в нем Вы не найдете фразы "единичный элемент". Дело в другом: "единичный элемент" есть в том определении подгруппы, которое знает ТС (обычно про группы и подгруппы рассказывают --- и на лекциях, и в учебниках --- используя мультипликативную терминологию и нотацию). Но то, что бывают и аддитивные группы (где групповая операция называется сложением и где аддитивная терминология и нотация совершенно естественна), студенты часто забывают. Точнее, они забывают "переводить" общее определение чего-либо (как правило, данное только в одной терминологии, обычно мультипликативной) на язык соответствующего примера. Отсюда и возникающее у них непонимание в стиле: "Муму" написал Тургенев, а памятник почему-то Пушкину.

Так что здесь подразумевает автор, вводя понятие "Подгруппа"? Аддитивная группа?

[nnosipov]

DxHater в сообщении #1529161 писал(а):

Пусть L-линейное подпространство над полем K, а M-его подмножество, которое является подгруппой

Конечно, речь идет о подгруппе относительно сложения векторов в $L$ (другой бинарной алгебраической операции в $L$ просто нет).

[ewert]

DxHater в сообщении #1529310 писал(а):

Так что здесь подразумевает автор, вводя понятие "Подгруппа"? Аддитивная группа?

Листаните на пару страниц назад. Там, в основном определении линейного пространства, сказано вполне недвусмысленно:

Цитата:

... снабженное бинарной операцией $L\times L\to L$, обычно обозначаемой как сложение...
...
а) Сложение элементов $L$, или векторов, превращает $L$ в коммутативную (абелеву) группу. Ее нулевой элемент обычно обозначается $0$;...

Термин "аддитивная" здесь не используется просто за избыточностью (хотя не менее избыточный термин "абелева" на всякий случай оставлен). Однако чётко зафиксировано, что внутригрупповую операцию мы будем называть сложением и, соответственно, нейтральный элемент -- нулевым. И когда после этого употребляется слово "подгруппа", то, естественно, подразумевается, что это подгруппа в том же смысле -- относительно той же операции и в той же терминологии.