2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма трех кубов
Сообщение19.08.2021, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1295
Санкт-Петербург

Задача известная, но как ее решать толком никто не знает. Удивительно. Построил для себя алгоритм, выкладываю на всякий случай, мало ли пригодится.

Запишем диофантово уравнение: $$x_1^3-x_2^3-x_3^3=\pm r\ (x_1>x_2 \geqslant x_3>0, r>0)\ \ \ (1).$$ Случай $x_3=0$ не рассматривается. Арифметическая сумма трех кубов – отдельная задача, которая для небольших $r$ решается подручными средствами. Общее между ними – неразрешимость уравнения для $r \equiv 4,5 \mod 9.$
Прибавим почленно к $(1)$ выражение $3(x_1-x_2)(x_1-x_3)(-x_2-x_3)$, перенесем $\pm r$ в левую часть: $(x_1-x_2-x_3)^3 \mp r=-3(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2+x_3)$ и домножим всё на $-1$: $$(x_3+x_2-x_1)^3 \pm r=3(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2+x_3).$$ Все скобки правой части есть положительные числа (из условия), причем первая из них не превосходит по величине вторую (проверяется вычитанием). Обозначим основание куба левой части буквой $s=x_3+x_2-x_1$ и подставим в предыдущее выражение $x_3=s+x_1-x_2$: $$s^3 \pm r=3\underbrace{(x_1-x_2)}_{l}\underbrace{(x_2-s)}_{m_1}\underbrace{(x_1+s)}_{m_2}\ \ \ (2).$$ Сумма трех скобок правой части – число четное, следовательно все три скобки не могут быть нечетными. Вывод: выражение в правой части равенства есть положительное число кратное шести. Если не принимать во внимание величину $r,$ то $s$ также положительно, будем считать это общим случаем. В дальнейшем $s$ берется за свободную переменную и пробегает значения от $1$ до $\infty$, но при желании можно начать с отрицательных $s>-\sqrt[3]{r}.$ Впрочем, такие решения легко подобрать вручную.$ Теперь при условии $s>0$ видно, что последняя скобка в $(2)$ превосходит вторую и, следовательно, является наибольшей их трех. Из подстановки $x_3=s+x_1-x_2$ следует также $x_3-s=x_1-x_2>0 \Rightarrow s<x_3$ – важная деталь: из всех кубов заявленного уравнения в общем случае $s^3$ – наименьший. Сравнение $s^3 \equiv \mp r \mod 6$ решается еще проще, поскольку для любого $n$ верно $n^3 \equiv n \mod 6. $ Имеем $\mp r \equiv s^3 \equiv s \Rightarrow s \equiv \mp r \mod 6.$ Воспользовавшись подстрочными подстановками $l,m_1,m_2$, подытожим свойства элементов равенства $(2):$
$$m_2>m_1 \geqslant l >0$$ $$x_3>s>0$$ $$s \equiv \mp r \mod 6.$$
Введем для краткости еще одну переменную $t=\dfrac{s^3 \pm r}{3}=lm_1m_2.$ Запишем $\left\{\begin{matrix}
lm_1m_2 &=t \\ 
m_2-m_1-l & =2s
\end{matrix}\right.$, а лучше так: $\left\{\begin{matrix}
-m_1m_2 &=-t/l \\ 
-m_1+m_2 & =2s+l
\end{matrix}\right.$. В силу теоремы Виета имеем уравнение $m^2-(2s+l)m-t/l=0$ и решение $m_{1,2}=\dfrac{\sqrt{(2s+l)^2+4t/l} \mp (2s+l)}{2}.$ Помня из предыдущего $x_1=m_2-s, x_2=m_1+s,x_3=s+l,$ получаем окончательно $$x_{1,2}=\dfrac{\sqrt{(2s+l)^2+4t/l} \pm l}{2},\ x_3=s+l\ \ \ (3).$$
Если для некоторой пары $r,s=x_3+x_2-x_1$ разрешимо уравнение $(1),$ то среди положительных делителей числа $t=\dfrac{s^3 \pm r}{3}$ найдется хотя бы одно $l$ такое, что выражение под радикалом $(3)$ окажется целым квадратом. То, что $l$ является наименьшим делителем $t$ среди трех параметров – обстоятельство благоприятное, но хотелось бы знать больше. Нижней теоретической границы $l$ иметь не может, что видно из тождества $(6c^{3}+1)^{3}-(6c^{3}-1)^{3}-(6c^{2})^{3}=2.$ Тут $l=2$ для бесконечной серии решений. Или же это какая-то сложная функция от $r.$ Верхняя граница видна невооруженным глазом: поскольку $t \approx \dfrac{s^3}{3},\ l{\max} \approx \sqrt[3]{t} \approx \dfrac{s}{\sqrt[3]{3}}.$ Однако, удается дать лучшую оценку $l{\max} \leqslant \left \lceil \dfrac{s}{\beta} \right \rceil,$ где $\beta =\sqrt{4+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}} \approx 2.8473221018...$ (подробности по запросу). Возможно, существуют и лучшие оценки, вопрос открытый.

Для фиксированного $r$ алгоритм следующий.
1) Вычисляется остаток $r \mod 9.$ Если он $=4$ или $=5$, решений нет. Конец.
2) Вычисляются два первых члена двойной арифметической прогрессии $s^{\pm}_n$ с шагом $6:\ s^+_1$ – остаток деления $r \mod 6,$ $s^-_1$ – остаток деления $-r \mod 6.$ Если $r$ кратно $3$-м, оба значения совпадают, прогрессия в сущности одна.
3) Вычисляются значения $t^+_1=\dfrac{(s^+_1)^3-r}{3},\ t^-_1=\dfrac{(s^-_1)^3+r}{3}$, $l{\max}_1=\left \lceil \dfrac{s^{\pm}_1}{\beta}  \right \rceil$ и создается временный список делителей $t^{\pm}_1 \leqslant l{\max}_1.$ Тут, конечно, могут быть варианты от тупо перебора, до изысканной факторизации. $\beta =\sqrt{4+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}} \approx 2.8473221018...$
4) Значения из списка делителей подставляются в радикал выражения $(3)$. Целый квадрат под радикалом означает решение, которое фиксируется, но процесс в любом случае продолжается до конца списка. Вероятность положительного результата по мере роста исходных данных снижается.
5) Вычисляется $s^{\pm}_2=s^{\pm}_1+6.$ В общем случае $s^{\pm}_{n+1}=s^{\pm}_n+6.$
Далее пункты $3,4,5$ повторяются циклично с ростом индексов на единицу. Процесс бесконечен, так как о количестве решений в общем случае ничего не известно :wink: Но, для $r=183$, к примеру, первое решение находится уже на втором шаге. Выпишу всё на что способен Excel:

$17^3-16^3-10^3=-183$

$296^3-295^3-64^3=-183$

$421^3-413^3-161^3=183$

$2201^3-2200^3-244^3=-183$

$4889^3-4876^3-976^3=-183$

$6089^3-5878^3-2830^3=-183$

$23204^3-22588^3-9895^3=-183$

$42109^3-36587^3-29507^3=183$


Upd 22.47
Пустая трата времени. В сравнении с простыми методами выигрыш мнимый, почему-то не увидел этого сразу. Sorry.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group