Задача по гравитации

[eggnogi]

Задача из задачника Овинчкина под номером 7.141: В плоскости однородного вещества имеется тонкий канал, перпендикулярный плоскости слоя, в котором под действие гравитационных сил движется без трения небольшое тело. Вычислить период его колебания относително положения равновесия, задавшись любыми исходными численными данными.

Что я сделал:
По теореме Гаусса для гравитации я нашел, что $-2g\pi R^2= -4\pi \gamma\sigma\pi R^2$ ($\sigma$ - плотность поверхности)
(Я рассмотрел плоскость, потом построил цилиндр, который пересекает ее. Затем рассмотрел двe окружности, которые вектор $g$ пересекает, и нашел поток. В правой части уравнении стоит $-4\pi \gamma M $, где $М$ - масса той части плоскости, которая создает интересующее нас гравитационное поле)

И отсюда следует, что $g= \operatorname{const} = 2\pi \gamma \sigma$. Потом уравнение осциллятора не знаю как получить(тело все-таки колеблется).

Если вас интересует ответ: $ T=\sqrt{\frac{\pi}{\gamma \sigma}}$

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- пожалуйста наберите условие задачи: там немного, и текст не утратится в дальнейшем;
- приведите формулы в порядок: не нужно одну формулу разбивать знаками доллара, не нужно отделять знак минус или отдельные символы, входящие в формулу.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 14.08.2021, 13:34 --

eggnogi в сообщении #1528685 писал(а):

И отсюда следует, что $g= \operatorname{const} = 2\pi \gamma \sigma$.

Это правильно, но если тело находится внутри, на него действуют два слоя с двух разных сторон, у которых поверхностные плотности разные. Это и надо аккуратно учесть, получив зависимость ускорения тела от его положения в канале.

[sergey zhukov]

eggnogi
Если речь в задаче о том, что есть массивная плоскость нулевой толщины, перпендикулярно которой под действием ее тяготения движется частица (при каждом колебании пролетает плоскость насквозь дважды), то это одна задача. Если же имеется ввиду массивный слой конечной толщины, внутри которого в канале движется частица, то это другая задача.

Вероятно, речь о первом варианте? Тогда действительно $g=\operatorname{const}$, и оно направлено всегда к плоскости. Здесь колебания не будут гармоническими.

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1528719 писал(а):

Вероятно, речь о первом варианте?

Условие:

eggnogi в сообщении #1528685 писал(а):

В плоскости однородного вещества имеется тонкий канал, перпендикулярный плоскости слоя

"Канал", перпендикулярный плоскости нулевой толщины, обычно называется дыркой.

[eggnogi]

@sergey zhukov @Pphantom

Оказалось, что вы правы. Если у плоскости нет толщины, то говорить об уравнении колебаний тела нельзя. Однако я еще один раз посмотрел на условие и понял, что никто не сказал, что плоскость бесконечно тонкая! Рассмотрев случай, предложенный @@Pphantom можем убедиться, что только тогда будет у тела период колебаний. При том часть с иксом сразу можем получить, если рассмотрим следующий график:




(Пояснения: Я рассмотрел зависимость $g(x)$ и зная $g_{\max} = 2\pi \gamma \rho h $ от теоремы Гаусса для слоя с конечной толщиной, то сразу получим функцию $g(x) = \frac{2\pi \gamma\rho h}{\frac{h}{2}}x = 4 \pi \gamma \rho x$. Потом легко получить период.

[Pphantom]

eggnogi в сообщении #1528745 писал(а):

@sergey zhukov @Pphantom

eggnogi, обращения на форуме оформляются не так (самый простой вариант обратиться правильно - кликнуть мышью на никнейм собеседника).

eggnogi в сообщении #1528745 писал(а):

Оказалось, что вы правы. Если у плоскости нет толщины, то говорить об уравнении колебаний тела нельзя.

Почему же? Тут sergey zhukov полностью прав: колебания будут, их период можно найти (и это тоже достаточно простая задача), но эти колебания не будут гармоническими.