Положение равновесия по первому приближению

[tpm01]

Дано вот такое уравнение:
$(5x+5\dot{x})^{1/5}+\cos (\dot{x})=0$
нужно найти положение равновесия и по первому приближению определить его тип (характер).
Вопрос такой: нет ли в задании ошибки?
Обычно в таких примерах есть вторая производная или $y$?
Если ошибки нет, то где можно посмотреть что-то подобное чтобы самостоятельно разобраться с примером? Пересмотрела с десяток книг ничего похожего не нашла...

[demolishka]

Обычно в книжках рассматривают системы вида $\dot{x} = f(x)$. Но это не мешает рассматривать и такие "нестандартные". Состояние равновесия $x_{0}$ нашли? В его окрестности все хорошо: производная $f(x,\dot{x})$ по $\dot{x}$ в точке $(x_{0},0)$ ненулевая, поэтому по теореме о неявной функции можно выразить $\dot{x}=g(x)$ для некоторой функции $g$. Дальше можно применять общую теорию к этой системе, зная как выражается производная $g$ через производную $f$ (опять же из теоремы о неявной функции).

Но можно поступить иначе: просто подставить решение $x(t;y)$, считая начальное данное $x(0)=y$ параметром, в уравнение и продифференцировать по $y$, поменяв производную по $t$ и по $y$ местами, где это нужно. Дальше подставить нашу точку и получится линейная система - система первого приближения (если не напортачить с вычислениями она должна совпасть с той, которая получается из теоремы о неявной функции).

[tpm01]

demolishka, я, к сожалению, полный чайник в данном вопросе, у меня нет математического образования и я в этом пытаюсь самостоятельно разобраться. До этого стандартные примеры попадались, их прорешала, с ответами сходилось. Можете подсказать где примеры с чем-то подобным можно посмотреть? Или хотя бы чтоб алгоритм был описан, например, как тут описывают алгоритмы решений. А то даже не представляю как состояние равновесия найти (с чего начать), на том сайте для систем уравнений алгоритм и примеры расписаны... Ну и для второго порядка тоже понятно как.

[demolishka]

tpm01 в сообщении #1528623 писал(а):

как состояние равновесия найти

Состояние равновесия это постоянная по времени функция $x(t) \equiv x_{0}$.

tpm01 в сообщении #1528623 писал(а):

Можете подсказать где примеры с чем-то подобным можно посмотреть?

Подсказать не могу.

Я Вам расписал достаточно подробный план решения.

(Оффтоп)

tpm01 в сообщении #1528623 писал(а):

я, к сожалению, полный чайник в данном вопросе, у меня нет математического образования и я в этом пытаюсь самостоятельно разобраться

Судя по Вашим темам, диффурами Вы интересуетесь с 2011 года. Слабоват прогресс-то за 10 лет.

[tpm01]

Спасибо за ответ...

(Оффтоп)

И прогресс у меня конечно слабый, откуда ему взяться, если моя профессиональная деятельность с этим не связана, свободного времени практически нет и занимаюсь я этим время от времени, преимущественно в отпуске от двух работ и то не всегда получается уделить достаточно времени...

[GAA]

Если для себя выполняется упражнение, то об (одном) автономном разрешённом относительно производной уравнении первого порядка есть пункт 1.2.1 в книге Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями, 1986. (Эту книгу легко можно найти в электронном виде в Сети.) В этом пункте определяются типы точек покоя (неподвижных точек или состояний равновесия): аттрактор, шунт, репеллер. (Сами названия, насколько мне известно, не общеприняты, но и качественная теория на прямой не особо содержательна и, в основном, в учебниках рассматривается качественная теория на плоскости.)

После того как будет просмотрен материал в этой книге, подробный план решения, указанный выше в этой ветке, думаю, будет понятен. (И я не помню книг с примерами определения типов точек покоя именно для случая неразрешенного относительно производной автономного уравнения первого порядка.)

(То, что точка покоя в данном упражнении одна, можно предварительно проверить в каком-нибудь пакете: просто построить график $x = f(\dot x)$. Сам аккуратно руками не проверял.)

Если же это семестровое задание, то должны были давать ссылки на рекомендуемую литературу: там и надо смотреть названия типов точек покоя.

[tpm01]

GAA, огромное Вам спасибо! Это то, что нужно. Пытаюсь для себя разобраться, интересно да и жаль бросать конец курса. Приходилось откладывать дифуры и проходить еще два курса, чтобы дальше дифуры продолжать проходить

[GAA]

Для ответа на вопрос упражнения, как выше было написано, достаточно вычислить значение производной $\dot x'_x (-1/5)$. Вместо этого можно было бы найти решение уравнения и ответить на вопрос упражнения, но качественные рассуждения сильно экономят время на решение вопроса о типе точки покоя.

Действительно, в данном упражнении рассматривается «неполное» уравнение первого порядка (не содержит независимую переменную). Это уравнение имеет решение $x=-1/5$ и общее решение, которое в квадратурах можно записать в параметрическом виде:

$t = \int \frac {\cos^4 v \sin v -1}{v} dv +C,$ $x = -\frac {\cos^5 v + 5v}{5}.$

Интеграл выражается через интегральные синусы и логарифм от модуля $v$. Знание интегрального синуса для ответа на вопрос упражнения не имеет значения: главное, что интеграл $\int_{v_0}^{+\infty} \frac {\cos^4 v \sin v}{v} dv$ сходится, например, по признаку Дирихле. Следовательно $t \to +\infty$, при $v \to 0$. $x$ стремится к $-1/5$, при $v \to 0$. Таким образом, решение $x=-1/5$ является асимптотой для остальных решений уравнения. Рис. ниже иллюстрирует это.

Вложение:

Комментарий к файлу: Mapl 7. v =-0.2..0.2

solution.PNG [ 22.75 Кб | Просмотров: 0 ]

[Однако такой путь немного утомительней, чем вычислить производную. И заданию совсем не соответствует.]

[tpm01]

GAA, еще раз огромное спасибо Вам и demolishka