Алгебраическое расширение совершенного поля

[sour]

Привет.

Допустим, что у нас есть алгебраическое расширение $E \supseteq F$ и $F$ совершенно. Это означает, что:

$\circ$ Любой неприводимый многочлен над $F$ не имеет кратных корней.

$\circ$ Любой элемент из $E$ является корнем какого-то многочлена из $F[x]$.

Нам надо доказать, что из всего этого следует, что любой неприводимый многочлен из $E[x]$ не имеет кратных корней.

Допустим, что какой-то неприводимый многочлен ненулевой степени $f(x) \in E[x]$ имеет кратный корень $\alpha$. В таком случае $f(x)=(x-\alpha)^kg(x)$. Из неприводимости этого многочлена следует, что он минимален над над $E[x]$ для элемента $\alpha$, в противном случае он делился бы на минимальный многочлен $\alpha$ над $E[x]$, а значит был бы приводим. Возьмем его производную: $f'(x)=k(x-\alpha)^{k-1}g(x)-(x-\alpha)^kg'(x)$. Число $\alpha$ является корнем $f'(x)$, в то же время взятие производной не выводит нас из $E[x]$, $f'(x) \in E[x]$. Степень $f'(x)$ ниже степени $f(x)$, при этом они имеют общий корень $\alpha$ и $f(x)$ минимален для $\alpha$. Все это означает, что $f'(x)=0$, но производная от многочлена ненулевой степени нулю быть равна не может(в полях нулевой характеристики).

Вроде бы это доказательство, но проблема в том, что

$\circ$ Производная от многочлена ненулевой степени может быть равна нулю в, например, конечных полях.

$\circ$ Я никак не использую совершенность $F$ и алгебраичность $E$ над $F$.

Подскажите, как распространить мое доказательство(если такое возможно) на произвольное поле не обязательно нулевой характеристики?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Null]

Пусть поле характеристики $p>0$.
Для начала я доказал что $F$ - совершенно тогда и только тогда когда $\varphi: z\to z^p$ автоморфизм(Фробениуса) - это одно из определений совершенного поля. Достаточно доказать что $\varphi$ отображает $E$ на $E$(Сюръекция). Подсказка: Пусть $a\in E$, $\deg_F(a)=k$(степень минимального многочлена $a$ с коэффициентами из $F$), тогда $1,a^p,a^{2p},\dots, a^{(k-1)p}$ - базис в поле $F(a)$