Найти асимптотически сжатую границу ряда

[Kosat]

Найти асимптотически сжатую границу ряда при $s\geqslant0$:

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\log_{2}^s{k}$$

Я пробовал интегрировать - но получается такое большое и настолько зависящее от $s$, что не осмеливаюсь сюда выкладывать. Разумно ограничить каждый член или частное двух последующих членов тоже не представляется возможным. Что же делать?

[AlexValk]

Термин <<асимптотически сжатая граница>> ряда - для меня тайна сия велика есть. (Возможно, артефакт компьютерного перевода? В русском гугле встречается только в одной в одном месте - в главе по сложности алгоритмов в некоей книжке. Т.е., как минимум - весьма нестандартный термин). Но если предположить, что вопрос состоит в получении асимптотического разложения, или, может быть, - асимптотических оценок $S_n$ сверху и/или снизу при $n\to \infty$, то ваши слова об использовании интеграла вместо ряда - вполне продуктивная идея. В частности, для верхней и нижней оценок верно

$$\int_1^n(\log_2 x)^s dx\leq S_n\leq \int_2^{n+1}(\log_2 x)^s dx,$$

а для получения главных членов асимптотического разложения можно использовать <<среднее>> соотношение (на самом деле нижний предел можно заменить на любую константу):

$$S_n\sim \int_{3/2}^{n+1/2} (\log_2 x)^s dx.$$

В интегралах, для избавления от логарифмов в подынтегральных выражениях, удобно сделать замену $x=e^y$ (можно, конечно и $x=2^y$, если очень хочется).
Ну а самое главное - для асимптотической оценки этих интегралов их совсем не нужно вычислять точно, а следует учитывать, что $n\to+\infty$. Для этого достаточно, заметить что главный вклад в интеграл по $y$ при больших $\ln(n)$ вносит окрестность верхнего предела интегрирования, малая по сравнению с $\ln (n)$. Тогда работаем по стандартной схеме: например, для третьего интеграла делаем замену $y=\ln(n+1/2)-z$, и, предполагая величину $\eta=z/\ln(n+1/2)$ малой, разлагаем подынтегральное выражение по этому параметру, а затем распространяем интегрирование по $z$ на $z\in[0;+\infty)$. В итоге получаем асимптотическое разложение по малому параметру $1/\ln(n)$ (или $s/\ln(n)$ ). Подробности расчетов попробуйте воспроизвести сами.
Первый член этого разложения имеет вид

$$S_n\sim \left(n+1/2\right)\log_2^s\left(n+1/2\right).$$

Несложно пишутся все порядки асимптотического разложения $S_n$, растущие с ростом $n$. В частности, пара следующих членов может быть учтена в этой формуле добавкой множителя

$$\left(1+\frac{s}{\ln(n+1/2)}+\frac{s}{\ln^2(n+1/2)}\right)^{-1}. $$

Аналогично получаем асимптотические разложения для первого (нижняя граница) и второго (верхняя граница) интегралов, если они вам действительно нужны для получения <<асимптотически сжатой границы>>. Хотя для нижней границы надо быть осторожнее с заменой области интегрирования на неограниченную и особенно с разложением подынтегральной функции по параметру $\eta$.

[Kosat]

Спасибо за помощь. Никто не обещал распространённого термина - эта книжка достаточно важна, видимо. Вот в английской Вики (там, кстати, тоже нет слова "tight", которое ввели в книжке в потугах добиться математической строгости), похожее есть и в русской (большая тета):
https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_not ... _notations

[мат-ламер]

Kosat в сообщении #1521142 писал(а):

Найти асимптотически сжатую границу

С английского limit в данном случае лучше перевести как предел, а не как граница. Предел ряда, это просто его сумма. А вместо "сжатый" более подходит слово "сжимающаяся".

[Lia]

Kosat
Пожалуйста, приведите задание на языке оригинала.

[Kosat]

мат-ламер в сообщении #1524950 писал(а):

Kosat в сообщении #1521142 писал(а):

Найти асимптотически сжатую границу

С английского limit в данном случае лучше перевести как предел, а не как граница. Предел ряда, это просто его сумма. А вместо "сжатый" более подходит слово "сжимающаяся".

С одной стороны, разумное замечание. Но посмотрите оригинал ниже.

-- 08.08.2021, 20:51 --

Lia в сообщении #1524967 писал(а):

Kosat
Пожалуйста, приведите задание на языке оригинала.

Give an asymptotically tight bound on the summation. Assume that $s\ge0$ is constant.

[Lia]

https://people.engr.tamu.edu/andreas-kl ... totic2.pdf

По-русски просто попросили бы найти асимптотику суммы.