Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения

[Smipe]

Задача звучит следующим образом:
Координаты вектора - это независимые одинаково распределенные случайные величины $X, Y,$ имеющие равномерное распределение на отрезке $[-1, 2]: X, Y \sim U[-1, 2]$. Найдите математическое ожидание и дисперсию для случайной величины $Z$, равной квадрату длины этого вектора: $Z = X^2 + Y^2$.

Я решал это просто с помощью формул для равномерного распределения: $E(X) = \frac{(b + a)}{2}$ и $D(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$.
Следовательно $E(Z) = E(X^2) + E(Y^2) = E(X)E(X) + E(Y)E(Y)$ и $D(Z) = E(X^4+2X^2Y^2+Y^4) - E(Z)^2$.
Но мне сказали, что так нельзя, потому что $X$ и $X$ зависимая величина скорее всего и использовать $E[XX]$ не получится. Примерно решается через формулы перехода к новому распределению через якобиан, а я это вообще не понял. Пробовал искать примерные задачки, но в интернете выдает для независимых случайных величин . Подскажите как решаются подобные задачки

[mihaild]

Плотность этого распределения найти сможете? И как найти математическое ожидание $f(\xi)$ если известна плотность $\xi$?

[Otta]

Не надо плотность.
К этому моменту ТС должен уметь считать матожидание функции от с.в., в т.ч. $Mg(X,Y)$.

Upd. Кстати, возможно, mihaild имел в виду именно это, но что-то с типографией случилось.

[Smipe]

Плотность этого распределения получается будет $f(\xi)=1/3$? И мат. ожидание искать как $E(\xi)=\int\limits_{-1}^2\xi f(\xi)d\xi$?

[mihaild]

Smipe в сообщении #1527039 писал(а):

Плотность этого распределения получается будет $f(\xi)=1/3$?

Явно нет - у нас же распределение на плоскости, поэтому плотность должна зависеть от двух координат (и не может быть константой).

Smipe в сообщении #1527039 писал(а):

И мат. ожидание искать как $E(\xi)=\int\limits_{-1}^2\xi f(\xi)d\xi$?

Нам же нужно не $E(\xi)$ а $E(g(\xi))$.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Шёл учёный Пифагор...

Задача сильно упрощается тем, что квадрат искомой длины равен сумме квадратов X и Y. Но квадраты имеют не равномерное распределение. Матожидание квадрата находится легко. Для дисперсии сложнее, надо выражение для дисперсии Z расписать, и там появляется матожидание четвёртой степени. Но тоже находимо.
А в общем случае да, через якобиан.