2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения
Сообщение24.07.2021, 21:19 


24/07/21
2
Задача звучит следующим образом:
Координаты вектора - это независимые одинаково распределенные случайные величины $X, Y,$ имеющие равномерное распределение на отрезке $[-1, 2]: X, Y \sim U[-1, 2]$. Найдите математическое ожидание и дисперсию для случайной величины $Z$, равной квадрату длины этого вектора: $Z = X^2 + Y^2$.

Я решал это просто с помощью формул для равномерного распределения: $E(X) = \frac{(b + a)}{2}$ и $D(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$.
Следовательно $E(Z) = E(X^2) + E(Y^2) = E(X)E(X) + E(Y)E(Y)$ и $D(Z) = E(X^4+2X^2Y^2+Y^4) - E(Z)^2$.
Но мне сказали, что так нельзя, потому что $X$ и $X$ зависимая величина скорее всего и использовать $E[XX]$ не получится. Примерно решается через формулы перехода к новому распределению через якобиан, а я это вообще не понял. Пробовал искать примерные задачки, но в интернете выдает для независимых случайных величин :cry: . Подскажите как решаются подобные задачки

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения
Сообщение24.07.2021, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8341
Цюрих
Плотность этого распределения найти сможете? И как найти математическое ожидание $f(\xi)$ если известна плотность $\xi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения
Сообщение24.07.2021, 21:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не надо плотность.
К этому моменту ТС должен уметь считать матожидание функции от с.в., в т.ч. $Mg(X,Y)$.

Upd. Кстати, возможно, mihaild имел в виду именно это, но что-то с типографией случилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения
Сообщение24.07.2021, 21:33 


24/07/21
2
Плотность этого распределения получается будет $f(\xi)=1/3$? И мат. ожидание искать как $E(\xi)=\int\limits_{-1}^2\xi f(\xi)d\xi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения
Сообщение24.07.2021, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8341
Цюрих
Smipe в сообщении #1527039 писал(а):
Плотность этого распределения получается будет $f(\xi)=1/3$?
Явно нет - у нас же распределение на плоскости, поэтому плотность должна зависеть от двух координат (и не может быть константой).
Smipe в сообщении #1527039 писал(а):
И мат. ожидание искать как $E(\xi)=\int\limits_{-1}^2\xi f(\xi)d\xi$?
Нам же нужно не $E(\xi)$ а $E(g(\xi))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат.ожидание и дисперсия равномерного распределения
Сообщение25.07.2021, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

Шёл учёный Пифагор...

Задача сильно упрощается тем, что квадрат искомой длины равен сумме квадратов X и Y. Но квадраты имеют не равномерное распределение. Матожидание квадрата находится легко. Для дисперсии сложнее, надо выражение для дисперсии Z расписать, и там появляется матожидание четвёртой степени. Но тоже находимо.
А в общем случае да, через якобиан.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group