ВТФ для n=5. Как доказать ОТА в кольце?

[B.A.S.]

Здравствуйте. Никогда не думал, что начну общение на этом форуме с этого раздела, ВТФ никогда особо не интересовался.
Но вот прослушал лекцию Савватеева с доказательством для $n=3$, где, в частности, он говорит, что для $n=5$ доказательство идейно похожее, но в кольце, порожденном корнем 5-й степени из единицы, сложнее доказать основную теорему арифметики (ОТА). И меня заинтересовал случай $n=5.$ Случаи показателей 3, 4, 5 вообще представляют интерес из-за того, что, насколько я знаю, единственное известное сейчас доказательство для произвольного показателя (доказательство Уайлса) предполагает $n>6$, а для показателей 3, 4, 5 он просто ссылается на уже давно известные доказательства. И даже если окажется, что верна так называемая abc-гипотеза, то из нее тоже следует ВТФ только для $n \ge 6$. Т.е. случаи показателей 3, 4, 5 представляют самостоятельную ценность. И если для $n=3$ и $n=4$ всё достаточно просто, то случай $n=5$ сложнее.
Я нашел книгу Постникова "Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел", но там как раз случай $n=5$ оставляется для самостоятельного изучения. А именно, предлагается найти единицы кольца $\mathbb Z [ \rho]$ (я обозначу $\rho=e^{2 \pi i/5}$), затем доказать, что кольцо евклидово (т.е. всегда возможно деление с остатком, где норма остатка меньше нормы делителя), а из этого следует ОТА.
Кольцо достаточно интересное - в него входит, например, отношение золотого сечения $\varphi =( 1+ \sqrt{5} )/2$), причем в качестве единицы, а вообще единицы, если я не ошибаюсь, имеют вид $\pm \varphi^k \rho^n, k,n \in \mathbb Z$. Но я никак не могу понять, как доказать в этом кольце возможность деления с остатком. Для $n=3$ и соответствующего кольца это просто, я, например, нашел геометрическое доказательство, где на комплексной плоскости изображается делимое и орбита делителя (он сам и ассоциированные с ним числа), и видно, что найдется число из орбиты делителя, образующее с делимым угол меньше $\pi/3$, который в соответствующем треугольнике будет по крайней мере не наибольшим, соответственно и лежащая напротив него сторона не наибольшая, а значит, пока норма делимого не меньше нормы делителя, ее всегда можно уменьшить и в результате получится остаток, по норме меньший делителя.
Но, насколько я понимаю, для $n=5$ это не работает. Прежде всего, как вводится норма. Для случая $n=3$ это обычная норма комплексного числа - квадрат модуля. А для $n=5$ элемент кольца представляется в виде $a_0+a_1 \rho+a_2 \rho^2+a_3 \rho^3$ и нормой называется произведение этого элемента на 3 других элемента, которые получаются заменой $\rho$ на $\rho^2$, $\rho^3$ и $\rho^4$. В итоге получается не просто квадрат (или другая степень) модуля числа, а произведение квадрата модуля числа на квадрат модуля некоторого другого числа, которое не совсем понятно, как связано с первым и как соответственно это более наглядно себе представить, чтобы определить процесс деления с остатком.
Не могли бы вы объяснить данный момент или дать ссылку на подробное доказательство ВТФ для $n=5$, включающее доказательство ОТА для соответствующего кольца (интересует больше даже последнее, но думаю, кроме как применительно к ВТФ оно вряд ли имеет ценность). Заранее спасибо.

[nnosipov]

B.A.S. в сообщении #1526932 писал(а):

Но я никак не могу понять, как доказать в этом кольце возможность деления с остатком.

Это не совсем простое упражнение. Подробности есть в книге: Граве Д.А. Трактат по алгебраическому анализу. Т. 2. Киев: Изд-во АН УССР, 1939. (Примерно стр. 189.) В качестве евклидовой нормы используется стандартная норма расширения $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$, где $\zeta^5=1$.

-- Сб июл 24, 2021 08:21:14 --

B.A.S. в сообщении #1526932 писал(а):

а вообще единицы, если я не ошибаюсь, имеют вид $\pm \varphi^k \rho^n, k,n \in \mathbb Z$.

Да, это верно.

B.A.S. в сообщении #1526932 писал(а):

Не могли бы вы объяснить данный момент или дать ссылку на подробное доказательство ВТФ для $n=5$

В книге Боревича, Шафаревича "Теория чисел" (М.: Наука, 1985) есть общее доказательство для всех колец $\mathbb{Z}[\zeta]$, $\zeta^n=1$, для которых выполняется основная теорема арифметики.

[B.A.S.]

nnosipov в сообщении #1526955 писал(а):

В книге Боревича, Шафаревича "Теория чисел" (М.: Наука, 1985) есть общее доказательство для всех колец $\mathbb{Z}[\zeta]$, $\zeta^n=1$, для которых выполняется основная теорема арифметики.

Такое доказательство много где есть. Проблема именно в доказательстве ОТА, которое при изложении почти всегда опускают. Спасибо.