2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ВТФ для n=5. Как доказать ОТА в кольце?
Сообщение23.07.2021, 23:53 
Аватара пользователя


23/07/21
8
Здравствуйте. Никогда не думал, что начну общение на этом форуме с этого раздела, ВТФ никогда особо не интересовался.
Но вот прослушал лекцию Савватеева с доказательством для $n=3$, где, в частности, он говорит, что для $n=5$ доказательство идейно похожее, но в кольце, порожденном корнем 5-й степени из единицы, сложнее доказать основную теорему арифметики (ОТА). И меня заинтересовал случай $n=5.$ Случаи показателей 3, 4, 5 вообще представляют интерес из-за того, что, насколько я знаю, единственное известное сейчас доказательство для произвольного показателя (доказательство Уайлса) предполагает $n>6$, а для показателей 3, 4, 5 он просто ссылается на уже давно известные доказательства. И даже если окажется, что верна так называемая abc-гипотеза, то из нее тоже следует ВТФ только для $n \ge 6$. Т.е. случаи показателей 3, 4, 5 представляют самостоятельную ценность. И если для $n=3$ и $n=4$ всё достаточно просто, то случай $n=5$ сложнее.
Я нашел книгу Постникова "Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел", но там как раз случай $n=5$ оставляется для самостоятельного изучения. А именно, предлагается найти единицы кольца $\mathbb Z [ \rho]$ (я обозначу $\rho=e^{2 \pi i/5}$), затем доказать, что кольцо евклидово (т.е. всегда возможно деление с остатком, где норма остатка меньше нормы делителя), а из этого следует ОТА.
Кольцо достаточно интересное - в него входит, например, отношение золотого сечения $\varphi =( 1+ \sqrt{5} )/2$), причем в качестве единицы, а вообще единицы, если я не ошибаюсь, имеют вид $\pm \varphi^k \rho^n, k,n \in \mathbb Z$. Но я никак не могу понять, как доказать в этом кольце возможность деления с остатком. Для $n=3$ и соответствующего кольца это просто, я, например, нашел геометрическое доказательство, где на комплексной плоскости изображается делимое и орбита делителя (он сам и ассоциированные с ним числа), и видно, что найдется число из орбиты делителя, образующее с делимым угол меньше $\pi/3$, который в соответствующем треугольнике будет по крайней мере не наибольшим, соответственно и лежащая напротив него сторона не наибольшая, а значит, пока норма делимого не меньше нормы делителя, ее всегда можно уменьшить и в результате получится остаток, по норме меньший делителя.
Но, насколько я понимаю, для $n=5$ это не работает. Прежде всего, как вводится норма. Для случая $n=3$ это обычная норма комплексного числа - квадрат модуля. А для $n=5$ элемент кольца представляется в виде $a_0+a_1 \rho+a_2 \rho^2+a_3 \rho^3$ и нормой называется произведение этого элемента на 3 других элемента, которые получаются заменой $\rho$ на $\rho^2$, $\rho^3$ и $\rho^4$. В итоге получается не просто квадрат (или другая степень) модуля числа, а произведение квадрата модуля числа на квадрат модуля некоторого другого числа, которое не совсем понятно, как связано с первым и как соответственно это более наглядно себе представить, чтобы определить процесс деления с остатком.
Не могли бы вы объяснить данный момент или дать ссылку на подробное доказательство ВТФ для $n=5$, включающее доказательство ОТА для соответствующего кольца (интересует больше даже последнее, но думаю, кроме как применительно к ВТФ оно вряд ли имеет ценность). Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=5. Как доказать ОТА в кольце?
Сообщение24.07.2021, 04:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8265
B.A.S. в сообщении #1526932 писал(а):
Но я никак не могу понять, как доказать в этом кольце возможность деления с остатком.
Это не совсем простое упражнение. Подробности есть в книге: Граве Д.А. Трактат по алгебраическому анализу. Т. 2. Киев: Изд-во АН УССР, 1939. (Примерно стр. 189.) В качестве евклидовой нормы используется стандартная норма расширения $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$, где $\zeta^5=1$.

-- Сб июл 24, 2021 08:21:14 --

B.A.S. в сообщении #1526932 писал(а):
а вообще единицы, если я не ошибаюсь, имеют вид $\pm \varphi^k \rho^n, k,n \in \mathbb Z$.
Да, это верно.
B.A.S. в сообщении #1526932 писал(а):
Не могли бы вы объяснить данный момент или дать ссылку на подробное доказательство ВТФ для $n=5$
В книге Боревича, Шафаревича "Теория чисел" (М.: Наука, 1985) есть общее доказательство для всех колец $\mathbb{Z}[\zeta]$, $\zeta^n=1$, для которых выполняется основная теорема арифметики.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=5. Как доказать ОТА в кольце?
Сообщение24.07.2021, 21:16 
Аватара пользователя


23/07/21
8
nnosipov в сообщении #1526955 писал(а):
В книге Боревича, Шафаревича "Теория чисел" (М.: Наука, 1985) есть общее доказательство для всех колец $\mathbb{Z}[\zeta]$, $\zeta^n=1$, для которых выполняется основная теорема арифметики.


Такое доказательство много где есть. Проблема именно в доказательстве ОТА, которое при изложении почти всегда опускают. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group