Скалярные и тензорные плотности

[ErVynShred]

Здравствуйте, после уже 2 или 3 прочтения я так и не понял, в чём смысл и зачем нужны скалярные, тензорные плотности. Ну понятно, что можно взять и для каждой карты $\left ( U_i, \varphi_i ) \right $ определить по функции $g_i \colon \left\lbrace x^{\alpha} \right\rbrace \in \varphi \left ( U_i ) \right \in \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$, и множество таких вот отображений $\left\lbrace g_i \right\rbrace = h$ это есть скалярная плотность $h$, с одним но, при преобразовании координат в какой-нибудь карте, функция из этого множества, соответствующая этой карте умножается на якобиан(кстати, записанный, как матрица) в некоторой степени $p$, ну хорошо, а что это за степень, как понять чему она равна в конкретном случае, и главное, скалярная плотность определена не в точках многообразия, а в точках именно $\mathbb{R}^n$, причём обычная функция на $f$ на многообразии выражается через эту скалярную плотность, как $f = {{\sqrt{\left\lvert g_{ij} \right\rvert}^p}}g$, соответcтвенно $g = {{\sqrt{\left\lvert g_{ij} \right\rvert}}^{-p}}f$, как здесь возник ${\sqrt{\left\lvert g_{ij} \right\rvert}}^p$?

[epros]

ErVynShred в сообщении #1526594 писал(а):

Здравствуйте, после уже 2 или 3 прочтения я так и не понял, в чём смысл и зачем нужны скалярные, тензорные плотности.

Ну вот, скажем, объемный интеграл от скаляра - не инвариант, а от скалярной плотности - инвариант. Аналогично, поток векторной плотности через поверхность - инвариант. И т.д.

Это ответ на вопрос "зачем нужны" с точки зрения физики. Или Вы что-то другое хотели услышать?

[ErVynShred]

Больше всего хотелось узнать, как и почему возникает корень из определитель метрики в выражении для скалярной функции на многообразии и почему она(скалярное поле), выражается именно через произведение выше описанной конструкции с метрикой и скалярной плотности.

[epros]

Плотности определены не только в метрических пространствах, так что корень из определителя метрики вовсе не обязан возникать. Просто так сложилось, что определитель дважды ковариантного тензора (любого, не только метрического) преобразуется как квадрат скалярной плотности. Поэтому сделать из скаляра скалярную плотность можно домножением его на корень из определителя метрики.