ЛЛ1: задача на систему частиц

[rancid_rot]

Ландафшиц механика
Задача (стр. 44-45): Система состоит из одной частицы с массой $M$ и $n$ частиц с одинаковыми массами $m$. Исключить движение центра инерции и свести задачу к задаче о движении $n$ частиц.

Решение к задаче прилагается, но когда я пытаюсь воспроизвести выводы формул, ответ не сходится.

Решение: Пусть $\mathbf{R}$ — радиус-вектор частицы $M$, $\mathbf{R}_a$ $(a=1,2,...,n)$ — радиус-векторы частиц с массами $m$. Введём расстояния от частицы $M$ до частиц $m$
$\mathbf{r}_a=\mathbf{R}_a-\mathbf{R}$
и поместим начало координат в центре инерции:
$M\mathbf{R}+m\sum\limits_{a}\mathbf{R}_a=0.$ (здесь ещё и опечатка в 5-7 изданиях, которой нет в 4, но сейчас не об этом)
Из этих равенств находим:
$\mathbf{R}=-\frac{m}{\mu}\sum\limits_{a}\mathbf{r}_a,\quad\mathbf{R}_a=\mathbf{R}+\mathbf{r}_a,$
где $\mu=M+nm$. Подставив эти выражения в функцию Лагранжа
$L=\frac{M\mathbf{\dot{R}}^2}{2}+\frac{m}{2}\sum\limits_{a}{\mathbf{\dot{R}}^2_a}-U,$
получим:
$L=\frac{m}{2}\sum\limits_{a}\mathbf{v}^2_a-\frac{m^2}{2\mu}(\sum\limits_{a} \mathbf{v}_a)^2-U,$
где $\mathbf{v}_a=\mathbf{\dot{r}}_a.$

Пытаюсь воспроизвести последний вывод:
$\mathbf{\dot{R}}^2=\frac{m^2}{\mu^2}(\sum\limits_{a}\mathbf{v}_a)^2, \quad \mathbf{\dot{R}}^2_a=(\mathbf{\dot{R}}+\mathbf{v}_a)^2=\frac{m^2}{\mu^2}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)^2-2\frac{m}{\mu}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)\mathbf{v}_a+\mathbf{v}^2_a$
$L=\frac{Mm^2}{2\mu^2}(\sum\limits_{a}\mathbf{v}_a)^2+\frac{m}{2}\sum\limits_{a}(\frac{m^2}{\mu^2}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)^2-2\frac{m}{\mu}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)\mathbf{v}_a+\mathbf{v}^2_a)-U$
Замечая, что $\sum\limits_{a}\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b\mathbf{v}_a=(\sum\limits_{a} \mathbf{v}_a)^2$, получаем
$L=\frac{m}{2}\sum\limits_{a}\mathbf{v}^2_a+\frac{m^2-2}{2\mu}(\sum\limits_{a} \mathbf{v}_a)^2-U.$

Так вот, это у меня на каникулах мозги раскисают, или всё же в учебнике ошибка?

[Eule_A]

Первое, что меня бы насторожило - когда в ответе из квадрата массы вычитается число.
Ошибка, похоже, происходит в той части выкладок, которую Вы не показали. Единственное, что можно предположить - что Вы были неаккуратны в обращении с суммами. Особенно с той суммой, из которой вроде бы как всё "выносится", но на самом деле там остаётся сумма единиц.

[rancid_rot]

Eule_A в сообщении #1526502 писал(а):

Единственное, что можно предположить - что Вы были неаккуратны в обращении с суммами.

Всё, спасибо, разобрался. Пойду учиться считать.