2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЛЛ1: задача на систему частиц
Сообщение18.07.2021, 20:28 


26/12/19
52
Ландафшиц механика
Задача (стр. 44-45): Система состоит из одной частицы с массой $M$ и $n$ частиц с одинаковыми массами $m$. Исключить движение центра инерции и свести задачу к задаче о движении $n$ частиц.

Решение к задаче прилагается, но когда я пытаюсь воспроизвести выводы формул, ответ не сходится.

Решение: Пусть $\mathbf{R}$ — радиус-вектор частицы $M$, $\mathbf{R}_a$ $(a=1,2,...,n)$ — радиус-векторы частиц с массами $m$. Введём расстояния от частицы $M$ до частиц $m$
$\mathbf{r}_a=\mathbf{R}_a-\mathbf{R}$
и поместим начало координат в центре инерции:
$M\mathbf{R}+m\sum\limits_{a}\mathbf{R}_a=0.$ (здесь ещё и опечатка в 5-7 изданиях, которой нет в 4, но сейчас не об этом)
Из этих равенств находим:
$\mathbf{R}=-\frac{m}{\mu}\sum\limits_{a}\mathbf{r}_a,\quad\mathbf{R}_a=\mathbf{R}+\mathbf{r}_a,$
где $\mu=M+nm$. Подставив эти выражения в функцию Лагранжа
$L=\frac{M\mathbf{\dot{R}}^2}{2}+\frac{m}{2}\sum\limits_{a}{\mathbf{\dot{R}}^2_a}-U,$
получим:
$L=\frac{m}{2}\sum\limits_{a}\mathbf{v}^2_a-\frac{m^2}{2\mu}(\sum\limits_{a} \mathbf{v}_a)^2-U,$
где $\mathbf{v}_a=\mathbf{\dot{r}}_a.$

Пытаюсь воспроизвести последний вывод:
$\mathbf{\dot{R}}^2=\frac{m^2}{\mu^2}(\sum\limits_{a}\mathbf{v}_a)^2, \quad \mathbf{\dot{R}}^2_a=(\mathbf{\dot{R}}+\mathbf{v}_a)^2=\frac{m^2}{\mu^2}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)^2-2\frac{m}{\mu}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)\mathbf{v}_a+\mathbf{v}^2_a$
$L=\frac{Mm^2}{2\mu^2}(\sum\limits_{a}\mathbf{v}_a)^2+\frac{m}{2}\sum\limits_{a}(\frac{m^2}{\mu^2}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)^2-2\frac{m}{\mu}(\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b)\mathbf{v}_a+\mathbf{v}^2_a)-U$
Замечая, что $\sum\limits_{a}\sum\limits_{b}\mathbf{v}_b\mathbf{v}_a=(\sum\limits_{a} \mathbf{v}_a)^2$, получаем
$L=\frac{m}{2}\sum\limits_{a}\mathbf{v}^2_a+\frac{m^2-2}{2\mu}(\sum\limits_{a} \mathbf{v}_a)^2-U.$

Так вот, это у меня на каникулах мозги раскисают, или всё же в учебнике ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ1: задача на систему частиц
Сообщение18.07.2021, 20:40 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Первое, что меня бы насторожило - когда в ответе из квадрата массы вычитается число.
Ошибка, похоже, происходит в той части выкладок, которую Вы не показали. Единственное, что можно предположить - что Вы были неаккуратны в обращении с суммами. Особенно с той суммой, из которой вроде бы как всё "выносится", но на самом деле там остаётся сумма единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ1: задача на систему частиц
Сообщение18.07.2021, 20:59 


26/12/19
52
Eule_A в сообщении #1526502 писал(а):
Единственное, что можно предположить - что Вы были неаккуратны в обращении с суммами.
Всё, спасибо, разобрался. Пойду учиться считать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group