Какова вероятность умереть с прививкой?

[IvanX]

Пусть эффективность вакцины 80%.
Среди заболевших вероятность умереть привитому в 8.5 раз больше вероятности умереть непривитому.
Как относится вероятность умереть привитому к вероятности умереть непривитому?

Введем обозначения:
$P(\text{ЗП})$ - вероятность заболеть привитому;
$P(\text{ЗНП})$ - вероятность заболеть непривитому;
$P(\text{УЗП})$ - вероятность умереть заболевшему привитому;
$P(\text{УЗНП})$ - вероятность умереть заболевшему непривитому;
$P(\text{УП})$ - вероятность умереть привитому;
$P(\text{УНП})$ - вероятность умереть непривитому.

Тогда

$\displaystyle \frac{P(\text{ЗП})}{P(\text{ЗНП})} = 1-0.8 = 0.2$

$\displaystyle \frac{P(\text{УЗП})}{P(\text{УЗНП})} = 8.5$

$\displaystyle P(\text{УП}) = P(\text{ЗП})\cdot P(\text{УЗП})$

$\displaystyle P(\text{УНП}) = P(\text{ЗНП})\cdot P(\text{УЗНП})$

Из этого следует, что

$\displaystyle\frac{P(\text{УП})}{P(\text{УНП})} = \displaystyle\frac{P(\text{ЗП})\cdot P(\text{УЗП})}{P(\text{ЗНП})\cdot P(\text{УЗНП})} = \frac{P(\text{ЗП})}{P(\text{ЗНП})}\cdot \frac{P(\text{УЗП})}{P(\text{УЗНП})} = 0.2\cdot 8.5 = 1.7$

Ответ: вероятность умереть привитому в $1.7$ раза больше вероятности умереть непривитому.

В этом решении есть ошибка?

P.S. Задача основана на реальных данных:

Об эффективности вакцины здесь:
Delta is moderately resistant to vaccines, particularly in people who have received just a single dose. A Public Health England study published on 22 May found that a single dose of either AstraZeneca's or Pfizer's vaccine reduced a person’s risk of developing COVID-19 symptoms caused by the Delta variant by 33%, compared to 50% for the Alpha variant. A second dose of the AstraZeneca vaccine boosted protection against Delta to 60% (compared to 66% against Alpha), while two doses of Pfizer’s jab were 88% effective (compared to 93% against Alpha).

Смертность среди привитых и непривитых заболевших здесь.
Данные из Таблицы 5 (стр 16):
Заболевших: 123 620
Заболевших привитых: 10 834
Заболевших непривитых: 71 932
Умерших заболевших: 257
Умерших заболевших привитых: 118
Умерших заболевших непривитых: 92

[NikolayPrimachenko]

IvanX в сообщении #1526127 писал(а):

Смертность среди привитых и непривитых заболевших здесь.

Там вопрос в распределении по возрастам. Среди непривитых больше молодых, у которых смертность от болезни ниже. Поэтому PHE с 17 брифинга разбивает на "до 50 лет" и "50+".

[IvanX]

NikolayPrimachenko в сообщении #1526128 писал(а):

IvanX в сообщении #1526127 писал(а):

Смертность среди привитых и непривитых заболевших здесь.

Там вопрос в распределении по возрастам. Среди непривитых больше молодых, у которых смертность от болезни ниже. Поэтому PHE с 17 брифинга разбивают на "до 50 лет" и "50+".

Ожидаемое возражение. Но эффективность вакцин тоже оценивается в общем без деления по возрастам. Там точно такое же соотношение молодых и стариков. Эффективность вакцин у молодых ниже, потому что они и без вакцин реже заболевают или вообще переносят бессимптомно.

[NikolayPrimachenko]

IvanX в сообщении #1526129 писал(а):

Ожидаемое возражение. Но эффективность вакцин тоже оценивается в общем без деления по возрастам.

Совершенно верно. Так делают очень часто. И это неправильно. Эффективность и безопасность должны оцениваться с учётом возраста. (А в идеале и с учётом других характеристик.)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (Мд)»
До первого холивара.

[Otta]

Вы не посмотрели предыдущую таблицу.

В Великобритании в первую очередь вакцинировались (-ются) лица старше 65 лет, затем - группа 50+. (Про группы риска я не пишу, потому что в таблицах их отдельно не смотрят.) Практически все смертельные случаи - среди группы 50+ - около 2% умерших в группе против практически 0% - в группе более молодых. За счет этого, естественно, создается видимый перекос со смещением повышенной смертности среди вакцинированных.

Отношение частот (которые Вы назвали вероятностями), которое Вы посчитали, некоторый смысл имеет, но не тот, который Вы ему приписываете. И главное, оно не говорит о том, на что Вы намекаете. Оно говорит о том, что вакцинировались в первую очередь действительно те, для кого это на самом деле имело жизненные показания.

[EUgeneUS]

IvanX в сообщении #1526129 писал(а):

Но эффективность вакцин тоже оценивается в общем без деления по возрастам

Если говорить об измерении VE в РКИ, то
А) там происходит случайное распределение испытуемых по группам. Что обеспечивает сбалансированность групп по возрасту и другим факторам.
Б) при достаточно большрм количестве испытуемых вполне себе делают оценки VE в разрезе когорт, в том числе по возрасту и полу. Главное, чтобы количество случаев в когорте было достаточно для хорошего доверительного интервала.

-- 15.07.2021, 08:12 --

IvanX в сообщении #1526129 писал(а):

Эффективность вакцин у молодых ниже, потому что они и без вакцин реже заболевают или вообще переносят бессимптомно.

Это ничем не доказанное утверждение.

[IvanX]

EUgeneUS в сообщении #1526143 писал(а):

А) там происходит случайное распределение испытуемых по группам. Что обеспечивает сбалансированность групп по возрасту и другим факторам.

Где можно почитать, что группы формируются именно так?

[mihaild]

Из ваших рассчетов следует, что при текущем составе вакцинированных вероятность умереть вакцинированному выше. Но т.к. факт вакцинации коррелирует с априорной вероятностью умереть, то из этого не следует, что для конкретного человека вероятность умереть выше при вакцинации.
Аналогичный пример: смертность среди людей в больнице гораздо выше, чем среди людей не в больнице. Из этого нельзя сделать вывод, что больницы вредны.

[EUgeneUS]

IvanX в сообщении #1526168 писал(а):

Где можно почитать, что группы формируются именно так?

В протоколах РКИ и-или в научных статьях по результатам РКИ.

[IvanX]

Австралийские ученые сообщают, что в возрастной группе до 60 лет смертность от тромбоза после векторной вакцины AstraZeneca превышает смертность от COVID-19. Из-за этого применение вакцины для людей до 60 лет остановлено.
https://www.sciencedirect.com/science/a ... 0X21008720

[mihaild]

Только нужно учесть, что летальность от тромбоза после вакцины везде одинаковая, а смертность от COVID-19 в Австралии гораздо ниже чем много где, т.к. гораздо меньше число случаев на человека - в Австралии за всю эпидемию 1231 случай на миллион (для сравнения - в Москве 362 случая на миллион за сутки).

[IvanX]

mihaild в сообщении #1526434 писал(а):

смертность от COVID-19 Австралии гораздо ниже чем много где

Как это можно объяснить?

mihaild в сообщении #1526434 писал(а):

для сравнения - в Москве 362 случая на миллион за сутки

Сколько из них до 60 лет?

[mihaild]

IvanX в сообщении #1526435 писал(а):

Сколько из них до 60 лет?

Я могу поискать статистику, но вы и сами можете это сделать.
Если вы хотите перенести австралийский опыт на российские реалии - то я указал, что как минимум нужно скорректировать (сравнивать риск от вакцины с риском от COVID-19 в РФ, а не в Австралии). Если вы просто принесли статью - ну ладно, вот товарищи что-то посчитали, а как это связано с темой?