Эллипс в сечении конуса

[sergey zhukov]

Известно, что если сечение конуса плоскостью замкнуто, то это эллипс. Это не так очевидно для человека, который над этим никогда не задумывался. Ему кажется, что в сечении должно получиться нечто вроде яйца. Мне, по крайней мере, так казалось.

Аналитически легко показать, что это эллипс. Есть так же доказательство через вписанные в конус шары (шары Данделена). Но мне кажется, что есть способ посмотреть на эту задачу так, что решение (т.е. что сечение - эллипс) станет сразу очевидным. Хотелось бы получить даже более слабый результат: что сечение симметрично относительно малой полуоси (для несимметричного сечения никакой полуоси, понятно, нет, но думаю, ясно, о чем тут речь).

За определение эллипса примем, что это сжатая окружность (т.е. если удалось показать, что сечение - это сжатая окружность, то задача решена).

[ewert]

sergey zhukov в сообщении #1525605 писал(а):

Но мне кажется, что есть способ посмотреть на эту задачу так, что решение (т.е. что сечение - эллипс) станет сразу очевидным.

Есть, конечно. Конус -- это поверхность второго порядка. А плоскость -- поверхность первого порядка. Соответственно, если в сечении получается линия, то она может быть только второго порядка, ч.т.д.

[sergey zhukov]

ewert
Это, конечно, самый простой и самый общий путь. Но он не убеждает того, кто не знаком с аналитической геометрией. Уверен, что тут есть доказательство более очевидное.

Я имею ввиду доказательство примерно следующего вида. Например: доказать, что круг имеет наибольшую площадь при наименьшем периметре.
Достаточно очевидное доказательство такое. Возьмем любую плоскую фигуру. Если она не выпуклая, обмотаем ее ниткой. По нитке получим выпуклую фигуру, площадь которой больше, а периметр - меньше., чем у исходной фигуры. Если же она изначально выпуклая, то отрежем от нее прямым отрезом любую часть и приложим обратно, зеркально повернув. Получим в общем случае снова не выпуклую фигуру, которую с помощью нитки превратим в выпуклую, увеличив площадь и уменьшив периметр. Так будем поступать до тех пор, пока никакое разрезание и зеркальное перекладывание уже не смогут дать не выпуклую фигуру. Нетрудно видеть, что это справедливо только для круга.

Вот что-то вроде этого. Только для задачи сечения конуса плоскостью подобное решение наверняка еще проще.

[Sinoid]

sergey zhukov в сообщении #1525633 писал(а):

Например: доказать, что круг имеет наибольшую площадь при наименьшем периметре.

Это задача принципиально иного, более высокого уровня, чем вывод простейших свойств эллипса.

[sergey zhukov]

Sinoid
Вот мне и странно, что никак не удается даже просто симметричность сечения конуса плоскостью показать с очевидностью, хотя и для более сложных задач есть очевидные решения.

Я думал над этой задачей достаточно долго и не придумал ничего такого, что можно было бы изобразить на одном рисунке с подписью "Смотри!", как это можно проделать, например, с доказательством теоремы Пифагора. Не может быть, чтобы такого решения не было.

[novichok2018]

Красивое простое геометрическое доказательство сразу для всех конических сечений есть в книге: Радемахер, Теплиц. Числа и фигуры. Может Вы что-то подобное ищете?

[Sinoid]

sergey zhukov в сообщении #1525704 писал(а):

Вот мне и странно, что никак не удается даже просто симметричность сечения конуса плоскостью показать с очевидностью, хотя и для более сложных задач есть очевидные решения.

Ещё раз "просто симметричность" - это одно, доступное при большом желании уже в школе и совсем другое математически строгое решение изопериметрических и иже с ними задач. Это проблемы вариационного исчисления, само построение которого стало возможно только и только после выхода матана на достаточно нехилый уровень развития.

[sergey zhukov]

novichok2018
Спасибо. У Радемахера как раз и приведено доказательство Данделена, которое есть в википедии.