Группа невырожденных линейных операторов

[EminentVictorians]

Пусть есть $V$ - $n$-мерное векторное пространство над полем $K$. Далее можно рассмотреть $\mathcal{L}(V)$ - множество линейных операторов пространства $V$ и множество $K^{n\times n}$ квадратных матриц размера $n \times n$ над полем $K$. Оба эти множества являются алгебрами относительно понятно каких операций. Далее я смотрю на $K^{n\times n}$ и понимаю, что его подмножество невырожденных матриц образует группу относительно умножения. Дальше я выбираю какой нибудь базис $(\vec{e_1}, ... , \vec{e_n})$ пространства $V$. Выбор базиса индуцирует изоморфизм между $\mathcal{L}(V)$ и $K^{n\times n}$ как алгебрами. Теперь я смотрю на произвольную невырожденную матрицу и вижу, что она является матрицей биективного линейного оператора. Дальше смотрю на произвольную вырожденную матрицу и понимаю, что она является матрицей небиективного линейного оператора. Таким образом прообраз множества невырожденных матриц представляет собой в точности множество биективных линейных операторов. А раз у нас есть изоморфизм, и невырожденные матрицы образуют группу по умножению, следовательно множество биективных линейных операторов тоже является группой по умножению относительно композиции.

У меня вопрос в том, все ли правильно в этом рассуждении выше. Т.е. я сначала выбрал произвольный изоморфизим и потом благодаря существованию этого изоморфизма доказал наличие групповой структуры на множестве биективных линейных операторов.

Просто по нормальной логике надо было вообще не рассматривать никакой изоморфизм и просто взять множество биективных линейных операторов и прямо показать, что оно является группой по умножению. Но у меня там цепочка тоже не слишком короткая получается, поэтому мне интересно, можно ли вот это рассуждение из первого абзаца считать доказательством того, что биективные линейные операторы образуют группу относительно композиции.

[Xaositect]

Можно, но это ужасное доказательство.

Что у Вас получается сложного в прямом доказательстве? Композиция биективных линейных операторов является биективным линейным оператором, композиция ассоциативна (верно для отображений вообще), тождественное преобразование является нейтральным для композиции (по определению), обратный оператор является биективным линейным оператором (стандартная теорема линейной алгебры).

[EminentVictorians]

Xaositect в сообщении #1524669 писал(а):

Что у Вас получается сложного в прямом доказательстве?

Само доказательство у меня не вызывает проблем. Но там потом же все равно надо доказывать, что сужение изоморфизма алгебр на группу биективных линейных операторов является изоморфизмом групп, т.е. делать все тоже самое, что и выше у меня. Вот я и подумал, что может лучше сразу все в одно рассуждение упаковать.

[Xaositect]

А, если это доказательство изоморфизма, то нормально. Можно общее утверждение сформулировать, что если у нас есть изоморфизм алгебр, то его ограничение на обратимые элементы будет изоморфизмом групп.