Табличный интеграл и подстановка

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma = 2b* ln[ \frac {2b+s} {2b}] - при вычислении интеграла дробь разложил как сумму двух простейших. Т.е получаем
$x(s)=ln[ \frac {2b+s} {2b}]^{2b} Правильно посчитал?

Поскольку Вы не использовали мой совет начать отсчёт длины дуги с нуля, то нулевой нижний предел интеграла неверен. Для Вашей ф-ции он должен быть $b$.


Добавлено спустя 3 минуты 28 секунд:

e7e5 писал(а):

Далее tg^2 \tau/2=\dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$,

Неверно.

Такой интеграл считаем?
$x(s)=\int\limits_b^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma

Почему с тангенсом неверно?
Ведь $\tau(\sigma)/2=\arctg \dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$
$tg\tau(\sigma)/2=\dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$
Ага, неправильно с из своей тетрадки списал
$tg^2\tau/2= \frac {\sigma-b} {b}$ - Косинус все-таки в тетрадке находил из этого выражения, и инетграл тоже.

Изменив нижний предел, вместо нуля $b$ получил
$x(s)=\int\limits_b^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma = 2b* ln[ \frac {2b+s} {3b}] Теперь правильно? интеграл тоже расписать подробнее, как считал?

[e7e5]

Направляющие косинусы:
Cos \tau= \frac {2b- \sigma} {2b+ \sigma},
Sin \tau= 2 \sqrt2 \frac {\sqrt b \sqrt \sigma} {2b+ \sigma},

$x(s)=\int\limits_b^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma
$y(s)=\int\limits_b^s\Sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma
Так?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

$y(s)=\int\limits_b^s\Sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$
Так?

На первый взгляд всё так (дотошно не проверял) кроме последней формулки. Синус потерялся. Иными словами,
$x(s)+\mathrm{i}y(s)=\int\limits_b^s\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau(\sigma)}\mathrm{d}\sigma$.
"Направляющие косинусы" здесь ни при чём.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

$y(s)=\int\limits_b^s\Sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$
Так?

На первый взгляд всё так (дотошно не проверял) кроме последней формулки. Синус потерялся. Иными словами,
$x(s)+\mathrm{i}y(s)=\int\limits_b^s\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau(\sigma)}\mathrm{d}\sigma$.

1) В теге был, но не появился..., подправил, вот так:
$y(s)=\int\limits_b^s\sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$

использую табличный интеграл( в смысле, что взял из справочника):
$\int \frac {x^{1/2}dx} {x+B}$ , $B=2b$, который равен
2x^{1/2}-2\sqrt{B} \arctg \sqrt \frac {x} {B}

А вот дальше, что то не заладилось. Использовал пределы интегрирования, упростил разность арктангенсов и получил
$y(s)=4* \sqrt{2b}(\sqrt s- \sqrt b)-8b \arctg \frac {\sqrt 2(\sqrt{s}-\sqrt{b})} {2 \sqrt b+\sqrt s}$
размерность в порядке, а вот если $s=0$, $b=1$ - получается отрицательное число, где то ошибся?

2) Сразу интеграл можно посчитать:
$x(s)+\mathrm{i}y(s)=\int\limits_b^s\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau(\sigma)}\mathrm{d}\sigma$. ?
Если не раскладывать в два интеграла, а сразу? Ведь ответы сойдутся?
Напомните пожалуйста, каким теоретич материалом воспользоваться?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

размерность в порядке, а вот если $s=0$, $b=1$ - получается отрицательное число, где то ошибся?

$s<b$ у Вас незаконно. Я давно предлагал перенести начало отсчёта длины дуги.

e7e5 писал(а):

Если не раскладывать в два интеграла, а сразу? Ведь ответы сойдутся?
Напомните пожалуйста, каким теоретич материалом воспользоваться?

Называется ТФКП. Я, дурак, профукал во время учёбы, на Москву, Таганку променял. До сих пор мучусь... Обойдитесь (пока) без этого, Вы в интергалах обычных без спасжилета плохо плаваете...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

$s<b$ у Вас незаконно. Я давно предлагал перенести начало отсчёта длины дуги.

Я двумя руками, что изменить начало отсчета длины дуги. Как это сделать?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #152201 писал(а):

Я двумя руками, что изменить начало отсчета длины дуги. Как это сделать?

Делается одной рукой:

Алексей К. в сообщении #151494 писал(а):

Отсчёт длины дуги естественнее начинать с нуля, а не с некого $b>0$ (рекомендуемая замена: $x-b\to s$).

Вернитесь туда и замените $x$ на $s+b$.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

в сообщении #151494"]Отсчёт длины дуги естественнее начинать с нуля, а не с некого $b>0$ (рекомендуемая замена: $x-b\to s$).

Алексей К. писал(а):

Вернитесь туда и замените $x$ на $s+b$.

Пробую.
$\tau(s)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{s}} {\sqrt{b}}$ Так?

Далее,
$x(s)=\int\limits_0^S\cos\tau(s)\mathrm{d}s,\quad y(s)=\int\limits_0^S\sin\tau(s)\mathrm{d}s$
Cos \tau= \frac {b-s} {b+s},

получается, что при больших $s$ косинус стремится к $-1$,т.е угол касательной
$\pi$ - так может быть в рассматриваем случае, или снова ошибся?
Интеграл не выписываю, если ошибка, какой смысл...

Добавлено спустя 31 минуту 52 секунды:

Вообще, если убрать $2$ - двойку рядом с арктангенсом, у меня получилось в аккурат:
Cos \tau= \sqrt \frac {b} {s+b}
Sin \tau= \sqrt \frac {s} {s+b} А с двойкой?

[Алексей К.]

Вы какую задачу решаете?
Сначала были "табличный интеграл и подстановка". Потом ---
"Пусть функция $\tau(\sigma)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$, $\sigma\ge b>0$, есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($\sigma$ --- длина дуги)."
В новых выражениях ---
"Пусть функция $\tau(s)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{s}} {\sqrt{b}}$ есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($s$ --- длина дуги)."
Уже из этого видно, что

Цитата:

"получается, что при больших $s$ угол касательной $\pi$ - так может быть в рассматриваем случае, или снова ошибся?"

Так есть в рассматриваемом случае (косинус для этого считать необязательно).

e7e5 в сообщении #152365 писал(а):

Вообще, если убрать - двойку рядом с арктангенсом, у меня получилось в аккурат:

Что за "аккурат", к которму Вы стремитесь --- по материалам данной темы не устанавливается.
Убрать двойку, равно как поставить тройку, семёрку, $\ldots$, Вам никто не мешает. Достаточно написать "Пусть функция $\tau(s)=?*\arctg \dfrac {\sqrt{s}} {\sqrt{b}}$..."
Стало быть, подлежит заполнению логический переход от "табличный интеграл и подстановка" к "пусть функция $\tau(s)$"...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Вы какую задачу решаете?
Сначала были "табличный интеграл и подстановка". Потом ---
"Пусть функция $\tau(\sigma)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$, $\sigma\ge b>0$, есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($\sigma$ --- длина дуги)."
В новых выражениях ---
"Пусть функция $\tau(s)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{s}} {\sqrt{b}}$ есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($s$ --- длина дуги)."

Наверное, нужно было другую тему открыть. Интеграл с подстановкой посчитан.
Следующая тема поисследовать некоторую кривую с этими новыми обозначениями.
Что же лучше эту тему закрыть? Новую открыть, а так можно запутаться...

Вообщем новая подзадача:
"Пусть функция $\tau(s)=m*\arctg \dfrac {\sqrt{s}} {\sqrt{b}}$ есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($s$ --- длина дуги)." , $m>0$
Найти $Cos \tau$ , $Sin \tau $, $x(s)$, $y(s)$ - параметризацию этой некой кривой. Показать, что будет при $m=1$, $m=2$

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Наверное, нужно было другую тему открыть.
Что же лучше эту тему закрыть?

Да нет, не надо ничего открывать-закрывать. Ибо реальная тема получается --- помочь автору логично (математично) изложить мысли. Если кривая --- та самая, с потолка (только подозрения, я до сих пор не сравнил те и эти уравнения), то никто не запрещает оживить ту тему и довыяснить невыясненное.

e7e5 писал(а):

Вообщем новая подзадача:

Интерес общественности к задачам определяется многими факторами. Самый распространённый класс --- учебные задачи. Они обычно угадываются, и реакция на них известна и понятна. В задачах "из частного сектора" часто угадывается некая интересная подоплёка. Иногда доверие к задаче определяется уже сложившимся доверием к автору.

e7e5 писал(а):

Вообщем новая подзадача:
"Пусть функция $\tau(s)=m*\arctg \dfrac {\sqrt{s}} {\sqrt{b}}$ есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($s$ --- длина дуги)." , $m>0$
Найти $Cos \tau$ , $Sin \tau $, $x(s)$, $y(s)$ - параметризацию этой некой кривой. Показать, что будет при $m=1$, $m=2$

Задача выглядит неинтересно, она плохо мотивирована (и легко решается). Если $\tau$ известно-задано, то выразить $\cos\tau$, $\sin\tau$ --- ерунда. (Кстати, следует писать "\cos\tau", "\sin\tau", а не "Cos"). Очевидно, ничем не мотивирована целочисленность $m$ в Вашей постановке. Лишь моим с-лёгкой-язвой замечанием. А если бы я в том замечании про тройку-семёрку всё же добавил бы туза --- Вы бы допустили (ир)рациональные $m$?

Задача легко решается --- ранее выписанными интегралами. И если они не выражаются через элементарные функции (либо выражаются только при специфических значениях $m$), то это ничего не значит. Значит только, что задача не учебная (и, может, что концепцию учебной задачи стоит чуть-чуть пересмотреть).

Вот, чё-то в нашу беседу ни одна заразКа (почти) не вмешивается. Why?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

Наверное, нужно было другую тему открыть.
Что же лучше эту тему закрыть?

Да нет, не надо ничего открывать-закрывать. Ибо реальная тема получается --- помочь автору логично (математично) изложить мысли. Если кривая --- та самая, с потолка (только подозрения, я до сих пор не сравнил те и эти уравнения), то никто не запрещает оживить ту тему и довыяснить невыясненное.


Вот, чё-то в нашу беседу ни одна заразКа (почти) не вмешивается. Why?

Тему с потолка оживил.
"Why?" - Может быть у людей инет не быстрый. У меня пока по диалапу откроется все описание темы - так модем отключается... А откроется, потом еще формулы грузятся десять минут.