корректность в расчетах гравиполя тел

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1524184 писал(а):

Фотосфера Солнца массивная и каждая ее часть притягивает, но каждая ее часть и излучает.

Притягивает в основном не фотосфера, а внутренности звезды, в которых сосредоточена основная масса. Но и излучаемое электромагнитное излучение ни капли не похоже на ньютоновскую гравитацию. Ничего общего.

[mihail2102]

amon в сообщении #1524171 писал(а):

mihail2102 в сообщении #1524072 писал(а):

При интегрировании по переменной $x$, процесс разветвляется(альтернатива):

$$\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\rho_kG\ln(R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R-R_1)^2})dx$$

... в последнем слагаемом получается согласно таблицам интегралов (американским Двайт интеграл380.111)...
...Согласно таблицам интегралов(советским Прудников.. стр.103 инт.26)

Что-то я ни у Двайта, ни у Прудникова интеграла

$$\int\ln\left(a^2+\sqrt{b^2+x^2}\right)dx$$

не нахожу ни на обозначенных страницах, ни где-либо еще, хотя взять его ручками вроде дело не хитрое.

Этот интеграл необходимо взять по частям, а потом воспользоваться таблицами.

[amon]

mihail2102 в сообщении #1524189 писал(а):

Этот интеграл необходимо взять по частям, а потом воспользоваться таблицами.

Вот и продемонстрируйте проблему.

[Pphantom]

mihail2102 в сообщении #1524180 писал(а):

Разумеется, гравитационое поле и световое поле вещи по своей природе различные. Но законы распространения имеют схожесть.
Стандартные свечи(метод определения расстояний) основанный на законах распространения света, от точечного источника
может иметь отклонения при оценке далеких расстояниях, так как точка представляет системный источник(например звезду), где возникновение светового потока схожа с возникновением гравитации в массивном теле.

Ну, про "схожесть" вам уже написали, но и про "стандартные свечи" в приложении к данной конкретной ситуации - чушь.

Короче говоря, давайте вы все-таки детально опишете исходную процедуру интегрирования и выполните требование amon, оставив более высокие материи в покое.

[Geen]

Ещё полезно было бы привести требования на функции при "интегрировании по частям".

[mihail2102]

mihail2102 в сообщении #1524072 писал(а):

При интегрировании по переменной $x$, процесс разветвляется(альтернатива):

$$\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\rho_kG\ln(R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R-R_1)^2})dx=\rho _kG(x\ln(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-x$$ $$+R_1\ln(2x+2\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})+(R-R_1)\arcsin{\frac{-2R_1(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-2(R-R_1)^2}{(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})\sqrt{4R_1^2+4(R-R_1)^2}})$$

$\arcsin$ в последнем слагаемом получается согласно таблицам интегралов (американским Двайт интеграл380.111)
Согласно таблицам интегралов(советским Прудников.. стр.103 инт.26) интеграл будет иметь следующее выражение:

$$\rho _kG(x\ln(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-x$$

$$+R_1\ln(2x+2\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})$$ $$+(R-R_1)\arctg{\frac{-2R_1(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-2(R-R_1)^2}{2(R-R_1)x}})$$

При подстановке пределов интегрирования $-R_1$, $+R_1$, для переменной х, $\arcsin$ сокращается в первом выражении, а $\arctg$ во втором выражении не сокращается.
То же самое и с остальными тремя интегралами.
Направление $\arctg$ как раз и дает отношение поля куба к полю шара равное 1(единица). Выражения с $\arcsin$ дает отношение равное 2(два).

Предполагаю, что до этого фрагмента всем все ясно и правильность не вызывает сомнений. Если есть вопросы, прошу задавать, чтобы не возвращаться к изложенному.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: по-видимому, продолжать бесполезно.

[Евгений Машеров]

Таинственное расхождение между советской и американской математикой, боюсь, объясняется тем, что
$\arctg x = -\arctg (-x) = \frac{\pi}{2} - \arcctg x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
Остальные выкладки не проверял в силу лени, но отчего-то уверен, что двойка взамен единицы (или наоборот) это просто пропущенная где-то ошибка.

[Евгений Машеров]

mihail2102 в сообщении #1522865 писал(а):

При нахождении напряженности гравитационного поля произвольного тела используют закон притяжения Ньютона и интегральное исчисление: тело разбивается на условные кубики интегрирования dx dy dz, к каждому кубику применяется закон притяжения Ньютона между этим кубиком и единичной массой находящейся на контрольном расстоянии от тела

Мне кажется, Ваша основная ошибка в том, что Вы смешиваете идею интегрального исчисления и конкретную процедуру вычисления интеграла. На уровне идеи никаких кубиков нет, есть материальные точки, "фигуры не имеющие". Кубики появляются при численном взятии интеграла (а при ином выборе системы координат - не кубики) в силу конечности вычислительных ресурсов, компьютер бесконечного быстродействия не завезли. Замена суммарного потенциала всех точек "кубика" (в кавычках - потому что и для других форм то же самое) на потенциал материальной точки в центре кубика это приближение, опирающееся на то, что вклад остальных компонент мультипольного разложения, зависящих от расположения отдельных элементов, а не только от общей массы, убывает быстрее, чем потенциал материальной точки, и если расстояние до неё существенно больше размера "кубика", вносимая пренебрежением прочими компонентами погрешность оказывается за пределами погрешности измерений, ею пренебрегают.

[Евгений Машеров]

(из переписки с ТС)
На вопрос о "структурной перестройке массы" (имелось в виду превращение жидкой фазу в твёрдую и т.п. - Е.М.) ответить проще всего. Никак не влияет.
На вопрос о расчёте с учётом атомной структуры вещества ответить не сложнее, но дольше.
Начиная с разницы между физикой и математикой. Математика работает с абстракциями, пусть они и выросли из реального мира, и даёт точные ответы относительно точно описанных абстракций. Физика работает с реальным миром, и даёт приближённые решения. Просто потому, что учесть все факторы реального мира невозможно. И поэтому один из самых важных навыков - определить, чем можно пренебречь.
У математики есть абстракция - "материальная точка". И допущение линейности. Которое в рамках математики принимается, как "условие игры", а чтобы это была не пустая забава - приверяется в реальном мире, и там, где оно выполняется, применимы результаты, полученные математической абстракцией.
Материальные точки бесконечно малы, формы не имеют, и представление тел конечной формы, как непрерывно заполненных "точками", позволяет делать о них физически осмысленные выводы, проверять их и признавать допустимость абстракции (или не признавать).
Однако некоторые выводы можно делать и без опытной проверки. В частности, можно рассчитать потенциал от куба или тела любой иной формы и сравнить с потенциалом материальной точки равной массы в центре куба. И если различия лежат за пределом возможной точности - мы априори можем принять, что абстрактная модель удовлетворительно описывает реальный мир.
Разлагая потенциал тела сложной формы и переменной плотности по полиномам Лежандра, видим, что у нас есть вклад общей массы М, потенциал от которой убывает обратно расстоянию, и слагаемые, вклад которых в потенциал убывает быстрее, квадратично, кубично и далее. Так что с ростом расстояния остаётся лишь первое слагаемое, и можно полагать "материальной точкой".
Существует приближение, ограничивающееся обратно-кубическим слагаемым
${ \varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}\right),}$
где за начало координат принят центр масс тела, A,B,C — главные моменты инерции тела, I — момент инерции относительно оси r .
Используя обычные формулы для момента инерции тела, в качестве размеров которого можно подставить размеры ядра атома, а качестве расстояния R - расстояние между атомами, можно оценить, насколько изменится ответ от включения второго слагаемого (подсказка - на относительную величину порядка квадрата отношений названных величин, то есть, учитывая, что отношение где-то 1:100000, то на одну десятимиллиардную). Ну, а если брать не расстояние между атомами, а расстояние до гравитирующего тела - то куда меньше.