корректность в расчетах гравиполя тел

[Emergency]

mihail2102 в сообщении #1523592 писал(а):

Но при дискретности материи это условие не выполнится. А из этого следует, что поле внутри сферы НЕ РАВНО НУЛЮ, а отличается от нуля. На сколько это уже другой вопрос.

Наверное настолько, что в первичной вселенной стали рождаться звезды и появляться галактики.

[mihail2102]

Интегрируем по переменной $z$, получаем:

$$E=\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\int\limits_{-R_1}^{+R_1}{\frac{\rho_k G dx dy}{\sqrt{(x^2+y^2+(R-R_1)^2)}}-\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\int\limits_{-R_1}^{+R_1}{\frac{\rho_k G dx dy}{\sqrt{(x^2+y^2+(R+R_1)^2)}}$$

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1524009 писал(а):

вычисляем по формуле

И? Теперь устремите $R$ в бесконечность, разложив подынтегральное выражение в ряд по степеням $1/R$, и проинтегрируйте главный член.

Собственно там и так очевидно: после интегрирования получится $\frac{\rho G V}{R^2} + o\left(\frac 1 {R^2}\right)$, где $V$ - объём куба.

[mihail2102]

]Интегрируем по переменной $y$, получаем:

$$E=\rho_kG(\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\ln(R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R-R_1)^2}) dx$$ $$-\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\ln(-R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R-R_1)^2}) dx$$ $$-\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\ln(R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R+R_1)^2}) dx$$ $$+\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\ln(-R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R+R_1)^2}) dx)$$

[mihail2102]

При интегрировании по переменной $x$, процесс разветвляется(альтернатива):

$$\int\limits_{-R_1}^{+R_1}\rho_kG\ln(R_1+\sqrt{R_1^2+x^2+(R-R_1)^2})dx=\rho _kG(x\ln(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-x$$ $$+R_1\ln(2x+2\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})+(R-R_1)\arcsin{\frac{-2R_1(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-2(R-R_1)^2}{(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})\sqrt{4R_1^2+4(R-R_1)^2}})$$

$\arcsin$ в последнем слагаемом получается согласно таблицам интегралов (американским Двайт интеграл380.111)
Согласно таблицам интегралов(советским Прудников.. стр.103 инт.26) интеграл будет иметь следующее выражение:

$$\rho _kG(x\ln(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-x$$

$$+R_1\ln(2x+2\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})$$ $$+(R-R_1)\arctg{\frac{-2R_1(R_1+\sqrt{x^2+R_1^2+(R-R_1)^2})-2(R-R_1)^2}{2(R-R_1)x}})$$

При подстановке пределов интегрирования $-R_1$, $+R_1$, для переменной х, $\arcsin$ сокращается в первом выражении, а $\arctg$ во втором выражении не сокращается.
То же самое и с остальными тремя интегралами.
Направление $\arctg$ как раз и дает отношение поля куба к полю шара равное 1(единица). Выражения с $\arcsin$ дает отношение равное 2(два).

[mihail2102]

realeugene в сообщении #1524014 писал(а):

mihail2102 в сообщении #1524009 писал(а):

вычисляем по формуле

И? Теперь устремите $R$ в бесконечность, разложив подынтегральное выражение в ряд по степеням $1/R$, и проинтегрируйте главный член.

Собственно там и так очевидно: после интегрирования получится $\frac{\rho G V}{R^2} + o\left(\frac 1 {R^2}\right)$, где $V$ - объём куба.

Здесь констатация того, что поле кубика отличается от поля шарика, и эту разность можно минимизировать увеличивая расстояние до контрольной точки.
Но дело в том, что кубиков в теле, гравитацию которого определяют, очень много и это множество не связано с расстоянием до контрольной точки.
И чтобы вести оценки поля или сравнения полей, надо вводить понятие дискретности вещества: функциональной связи размеров тела, массы тела(количество частиц), расстояния до контрольной точки с величиной поля.

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1524077 писал(а):

Здесь констатация того, что поле кубика отличается от поля шарика, и эту разность можно минимизировать увеличивая расстояние до контрольной точки.

Можно увеличивать. Это значит, что асимптотически поле от кубика не отличимо от поля от шарика такой же массы. А для чего ещё именно вы пытаетесь проинтегрировать поле кубика, как не для того, чтобы показать, что асимптотическ, то есть, на бесконечности, они разные?

mihail2102 в сообщении #1524077 писал(а):

Но дело в том, что кубиков в теле, гравитацию которого определяют, очень много и это множество не связано с расстоянием до контрольной точки.

Дело в том, что величина интеграла Римана от непрерывной функции не зависит от пути предельного перехода к бесконечно-малым разбиениям, это уже - чистая математика, которую изучают в курсе математического анализа. Как только вы записали разбиение в виде интеграла, дальше всё однозначно. Если, только, асимптотически гравитация от кубика не отличима от гравитации шарика, конечно. Но асимптотически она не отличима.

[sergey zhukov]

mihail2102
Да вы же и сами понимаете, что все это чушь. Нет никакой проблемы, есть только 20 листов неправильных расчетов, которые жалко выкинуть.

[mihail2102]

realeugene в сообщении #1524090 писал(а):

Можно увеличивать. Это значит, что асимптотически поле от кубика не отличимо от поля от шарика такой же массы. А для чего ещё именно вы пытаетесь проинтегрировать поле кубика, как не для того, чтобы показать, что асимптотическ, то есть, на бесконечности, они разные?
Дело в том, что величина интеграла Римана от непрерывной функции не зависит от пути предельного перехода к бесконечно-малым разбиениям, это уже - чистая математика, которую изучают в курсе математического анализа. Как только вы записали разбиение в виде интеграла, дальше всё однозначно. Если, только, асимптотически гравитация от кубика не отличима от гравитации шарика, конечно. Но асимптотически она не отличима.

С этим согласен. И речь на теме идет не о ревизии интегрального исчисления применительно к задачам гравитации, а о
его резервах для получения прогностических результатов наиболее приближенных к реальности. А прецеденты есть. Например отклонение траекторий Пионеров, завышенные замеры расстояния до звезд в проекте Гиппаркос, наверное еще что-то.
Сделаю некоторые пояснения... Ранее я приводил пример, но комментариев не было. Вот имеется тело некоторой массы равномерной плотности, состоящее из отдельных частиц, с пространством между ними. Применяя традиционный метод находим поле этого тела на некотором расстоянии. Традиционный метод совпадает с методом интегрального исчисления.
Далее, не меняя форму тела перестраиваем конфигурацию частиц таким образом, чтобы совокупность ячеек с частицами в виде куба, превратилась в одинаковую совокупность ячеек в виде цилиндров с одинаковым количеством частиц в ячейке.. Ячеек много и средняя плотность остается константой. Поле цилиндра вдоль основной оси больше поля куба. Таким образом получаем другое значение поля тела. Может имеются и другие конфигурации при равномерной плотности, но с другим значением поля.

-- 24.06.2021, 19:09 --

sergey zhukov в сообщении #1524112 писал(а):

mihail2102
Да вы же и сами понимаете, что все это чушь. Нет никакой проблемы, есть только 20 листов неправильных расчетов, которые жалко выкинуть.

Да не в листах дело. Надо каждому попробовать хоть раз в жизни самому посчитать поле тела(скажем куба). Вот конкретная задача по поиску поля, а ведь мало кто даже из спецов решал ее самостоятельно. Я не могу объяснить альтернативный ход решения задачи(если он конечно имеется). Можно даже не считать самому, а дать ссылку на материалы, где сделан последовательно вывод формулы поля куба. Лично я потратил много времени чтобы найти такие материалы. Не нашел(может плохо искал). Просто думаю может кто-то даст ссылку.

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1524140 писал(а):

Поле цилиндра вдоль основной оси больше поля куба.

Асимптотически то же самое. Отличия от идеального сферического поля, конечно, имеются даже для Земли, что и используется для её гравитационного зондирования, но высшие сферические гармоники быстро затухают при увеличении отношения расстояния до тела к диаметру тела. И остаётся только обычный закон обратных квадратов, в который входит в качестве коэффициента только полная масса тела, но не его форма. Как вы могли уже сами убедиться на примере кубика и шарика.

-- 24.06.2021, 14:33 --

mihail2102 в сообщении #1524140 писал(а):

где сделан последовательно вывод формулы поля куба

Это нафиг никому не нужно.

[sergey zhukov]

mihail2102
Простейшая численная проверка показывает, что формула с арксинусом просто неверна. А с арктангенсом - верна. Проверьте сами.

Посчитать что-нибудь самому - это, конечно, очень важно. Но в данном случае речь идет о функции, у которой якобы две первообразных. Если вы знаете, что такое интеграл, то должны уже понимать, что это невозможно. Проверить, какой из двух ответов действительно верный - дело 20 мин (если боитесь ошибиться при дифференциировании - проверьте численно). Этим то вам и нужно было заняться прежде, чем тему поднимать.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1524148 писал(а):

А с арктангенсом - верна.

Формула с арктангенсом не верна - она не определена в нуле.

[mihail2102]

sergey zhukov в сообщении #1524148 писал(а):

mihail2102
Простейшая численная проверка показывает, что формула с арксинусом просто неверна. А с арктангенсом - верна. Проверьте сами.

Посчитать что-нибудь самому - это, конечно, очень важно. Но в данном случае речь идет о функции, у которой якобы две первообразных. Если вы знаете, что такое интеграл, то должны уже понимать, что это невозможно. ...

Выходит возможно: Прудников таблицы интегралов. стр.103 первообр.. 26, 27 соотв.арктангенс и арксинус, одной подинтегральной функции 22.
В Двайте интеграл 380.111 арктангенса нет вообще. Конечно надо сделать выбор одной из двух. В этом и проблема.

-- 24.06.2021, 21:25 --

realeugene в сообщении #1524147 писал(а):

mihail2102 в сообщении #1524140 писал(а):

Поле цилиндра вдоль основной оси больше поля куба.

Асимптотически то же самое. ...

Асимптотика никого не интересует. Есть конкретная шкала расстояний
и должна быть конкретная шкала отклонений. Это касается и измерения расстояний при помощи "стандартных свечей":по сути световое поле, это то же самое гравитационное поле. И на это есть запрос.

[sergey zhukov]

mihail2102
Так вы, вероятно, не понимаете, что такое интеграл? Раз не можете проверить, является ли данная функция интегралом заданной?
Вот как это можно сделать.
Численно находите интеграл исходной функции. Скажем, в екселе. Простейшим методом - суммой маленьких прямоугольников. Как в школе объясняют. Потом сравниваете полученный график с графиками функций, которые вы приводите в качестве интегралов исходной функции. Один из них совпадает с численной кривой, другой - нет. Который не совпадает - это неправильный интеграл. Даже если он десять раз в справочнике написан на первой странице.

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1524155 писал(а):

Асимптотика никого не интересует

Повторю свой вопрос: где и когда вы изучали матанализ? Именно в курсе матанализа учат оценивать погрешности приближений. И умение считать асимптотики - важнейший навык, которым студенты овладевают.

Вот вам задача, которая вам по плечу. Найдите погрешность подсчитываемого гравитационного ускорения при смещении точки некоторой массы из начала координат в пределах вашего кубика. Запишите эту погрешность как функцию расстояния. Отличие вашего интеграла от некоторй массы, произвольно размазанной по кубику, от закона обратных квадратов до центра кубика, не будет превышать по модулю погрешность, подсчитанную для смещения всей массы из центра в произвольную точку внутри этого кубика - это одна из теорем про интегралы.

А если вы посчитаете эту погрешность для всей внутренности шара, в который вписан ваш куб, вы найдёте и ограничение сверху для любого направления из центра шара, а не только перпендикулярно центру грани.

На самом деле, тривиально, что для внутренности шарика маскимальное отклонение ускорения будет при смещении в ближайшую к наблюдателю точку. Так что, если у вас есть некоторе тело произвольной формы, вы можете вписать это тело в шарик с центром в центре масс тела и найти погрешность при переносе массы всего тела из центра масс по радиусу в сторону наблюдателя. Это будет и ограничение сверху на модуль погрешности расчёта ускорения при стягивании всей массы тела в его центр масс.