корректность в расчетах гравиполя тел

[Pphantom]

Padawan, это все-таки физика, так что исходная проблема должна была бы формулироваться так: есть экспериментальный факт, что куб и шар равной массы на больших расстояниях притягивают пробную частицу одинаково, однако рассматриваемая математическая модель дает другой результат, поэтому надо найти ошибку в модели.

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523420 писал(а):

Для обоснования интегрирования мы используем интегрирование.

Это разные интегрирования. Одно интегрирование - представление физической задачи в виде интеграла Римана ввиду линейности этих уравнений для гравитации Ньютона. Совершенно другое интегрирование - это доказательство непротиворечивости интеграла Римана как предельного перехода римановой суммы, не зависящего от пути этого предельного перехода. Последнее доказывается для непрерывных функций как раз в интегральном исчислении.

В общем, пробелы в матанализе приводят к чудесам в окружающем мире.

[Padawan]

realeugene
Ну, будем считать, что математика интегрирования известна. Вопрос в том, почему мы можем притяжение тела взять как предел притяжения системы материальных точек. По-моему это просто постулируется и математически никак не доказывается. То есть просто говорим, что гравитационное поле, создаваемое распределенной массой есть такой-то тройной интеграл.

[amon]

Padawan в сообщении #1523436 писал(а):

По-моему это просто постулируется и математически никак не доказывается. То есть просто говорим, что гравитационное поле, создаваемое распределенной массой есть такой-то тройной интеграл.

Математически - никак, а физически (совпадение модели с реальностью) - проверкой утверждения, что шары действительно притягиваются центрами. Исторически это происходило с точностью до наоборот. Ньютон потратил несколько лет что бы получить из своей теории это утверждение.

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523436 писал(а):

Вопрос в том, почему мы можем притяжение тела взять как предел притяжения системы материальных точек.

Из линейности ньютоновской гравитации. Эта линейность, подчеркну, в рамках ньютоновской (т. е. слабой) гравитации - экспериментальный факт. Сила притяжения составного тела равна сумме сил притяжения его частей. Этот закон непосредственно отображается на определение интеграла Римана как предела суммы при разбиении пространства на последовательно уменьшающиеся области.

На самом деле, единственно правильный ответ, почему физические модели применяют те или иные часто очень сложные математические абстракции - это то, что такие модели подтверждаются экспериментально и обладают предсказательной силой. В этом состоит суть физики как науки.

[Padawan]

amon в сообщении #1523438 писал(а):

проверкой утверждения, что шары действительно притягиваются центрами

Это то как раз доказывается математически вычислением интеграла. И связано с тем, что сила убывает пропорционально квадрату расстояния.

realeugene в сообщении #1523443 писал(а):

Сила притяжения составного тела равна сумме сил притяжения его частей.

Согласен. Но почему эту часть можно заменить точкой?

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523446 писал(а):

Согласен. Но почему эту часть можно заменить точкой?

Ну а это в даннном случае как и везде в случаях, когда можно использовать обобщённые функции: потому что материальная точка в случае ньютоновской гравитации даёт тот же самый ответ, как и интеграл Римана по телу с некоторой фиксированной массой, стягиваёмому в точку. Собственно только это позволяет использовать абстракцию материальной точки в ньютоновской гравитации. Разумеется, физических тел с бесконечной плотностью массы не бывает, материальные точки - очень суровые абстракции. Соответствие притяжения центрально симметричной сферы точке в центре сферы с массой сферы проверяется прямым интегрированием.

[Padawan]

realeugene в сообщении #1523450 писал(а):

потому что материальная точка в случае ньютоновской гравитации даёт тот же самый ответ, как и интеграл Римана по телу с некоторой фиксированной массой, стягиваёмому в точку

Не понял, честно говоря. Давайте так: как вы определяете, что такое есть притяжение тела? Какими свойствами оно обладает, чтобы можно было вывести из них, что это интеграл?

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523452 писал(а):

Давайте так: как вы определяете, что такое есть притяжение тела?

Ну это вроде бы в школе прозходят, когда изучают закон всемирного тяготения. Любое массивное тело действует на окружающие пробные тела с некоторой силой, получаемой из закона всемирного тяготения. Который формулируется школьникам для материальных точек, но который можно переформулировать и в интегральной форме через пространственную плотность массы в виде интеграла по объёму тяготеющего тела. Главное свойство: при разбиении произвольного тела на две произвольные части обсуждаемая сила притяжения равна сумме сил от этих частей. Углубляться в определение понятия "разбиение" я не буду. К слову, это понятие непосредственно связано с экстенсивностью массы тела.

[Padawan]

realeugene в сообщении #1523454 писал(а):

но который можно переформулировать и в интегральной форме через пространственную плотность массы в виде интеграла по объёму тяготеющего тела.

Так я об этом и говорю. Интеграл постулируется.

[realeugene]

На самом деле, тут важна линейность и только линейность. В случае сильной гравитации ОТО все эти рассуждения неприменимы, соответственно, в ОТО наприменимы и гравитирующие материальные точки.

-- 19.06.2021, 17:06 --

Padawan в сообщении #1523455 писал(а):

Так я об этом и говорю. Интеграл постулируется.

Достаточно постулировать линейность. Интеграл - это уже тривиальное следствие линейности.

[Padawan]

realeugene в сообщении #1523457 писал(а):

Достаточно постулировать линейность

Сформулируйте, пожалуйста, точно это свойство линейности.

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523459 писал(а):

формулируйте, пожалуйста, точно это свойство линейности.

realeugene в сообщении #1523454 писал(а):

Главное свойство: при разбиении произвольного тела на две произвольные части обсуждаемая сила притяжения равна сумме сил от этих частей.

[Padawan]

Положим силу притяжения равной нулю для любого тела и любой функции плотности в нём. Свойство линейности выполняется. Значит, нужны ещё какие-то свойства.

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523461 писал(а):

Значит, нужны ещё какие-то свойства.

Для закона всемирногно тяготения - нужны, разумеется. Для представления в виде интеграла этого свойства достаточно.

Вне этого свойства оказался закон обратных квадратов и тот факт, что гравитирует именно масса.