Зависимость лагранжиана от скорости

[dewjjon]

Почему лагранжиан зависит от скорости и координаты, но не зависит от ускорения и высших производных координат? Лагранжиан в общем случае зависит от мгновенных координат и скоростей или от их функций?
В ЛЛ-1 написано: «одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и в принципе предсказать ее дальнейшее движение<...>заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяет и также и значение ускорений в этот момент». Если координаты и скорости однозначно определяют успокоение (как производную скорости), то почему нельзя однозначно описывать систему одними лишь координатами (скорость можно определить как производную координаты)?
Допустим, в лагранжиан входят мгновенные значения координат и скоростей, тогда необходимость двух переменных очевидна (как в случае парадокса Зенона «Стрела»), но появляется следующий вопрос: почему тогда скорость обозначается как производная координаты, значит координата-это функция по времени-противоречие.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопросы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 14.06.2021, 01:19 --

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

Лагранжиан в общем случае зависит от мгновенных координат и скоростей или от их функций?

Как вы собираетесь отличать эти два случая? Запишите какой-нибудь конкретный лагранжиан и попробуйте его "классифицировать" по этому признаку.

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

Если координаты и скорости однозначно определяют успокоение (как производную скорости), то почему нельзя однозначно описывать систему одними лишь координатами (скорость можно определить как производную координаты)?

Каким образом вы собираетесь получить производную функции, для которой вам известно ее значение в одной точке?

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

почему тогда скорость обозначается как производная координаты

Потому что полезно различать функции и их значения при определенном значении аргумента.

Ну и в связи с последним встречный вопрос: соответствующий навык обычно нарабатывается самое позднее в рамках первого семестра курса общей физики (если в школе не получилось). Если его нет - не рано ли браться за ЛЛ?

[Slav-27]

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

Почему лагранжиан зависит от скорости и координаты, но не зависит от ускорения и высших производных координат?

Это экспериментальный факт: многие механические системы описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка (я встречал в литературе название "принцип Ньютона -- Лапласа"). Когда говорят "состояние механической системы в данный момент времени однозначно определяется заданием её (обобщённых) координат и скоростей в этот момент времени", имеют в виду, что если мы знаем координаты и скорости системы в данный момент времени, то можем рассчитать всю дальнейшую эволюцию системы по "закону движения системы", т. е. по дифференциальному уравнению. Заданием только координат состояние однозначно не определяется: не хватает начальных данных для однозначной разрешимости задачи Коши; а задавать высшие производные излишне, потому что дифференциальное уравнение однозначно определяет их, если задать координаты и скорости.

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

Лагранжиан в общем случае зависит от мгновенных координат и скоростей или от их функций?

Лагранжиан -- это функция, которая принимает состояние системы ($2d$ вещественных чисел: $d$ координат и $d$ скоростей) и момент времени (вещественное число), а возвращает вещественное число.

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

но появляется следующий вопрос: почему тогда скорость обозначается как производная координаты, значит координата-это функция по времени-противоречие.

К сожалению, почти любое обозначение для чего угодно имеет свои недостатки; надо не полагаться на обозначения, а понимать, о чём идёт речь.

[sergey zhukov]

dewjjon
Почему для однозначного описания состояния системы нужно задать только координаты и скорости (производные координат), но более высокие производные координат уже не нужны?

Потому, что в законе Ньютона $F=ma$ справа стоит ускорение (вторая производная координат). Если бы там стояла, скажем, пятая производная координат, то лагранжиан зависел бы от координат и четырех их первых производных. Соответственно, для однозначного описания состояния системы требовались бы координаты и четыре их первых производных.

Почему $F=m\frac{d^2x}{dt^2}$, а не $F=m\frac{d^5x}{dt^5}$? Вот тут как раз опыт показывает, что верно именно первое, а не второе.

Лагранжиан - это функция от координат и их производных. Допустим, мы взяли случайное положение элементов системы и задали им случайные скорости. Можем вычислить значение лагранжиана для этого случая. Взяли другое случайное положение элементов и задали им другие случайные скорости. Можем вычислить значение лагранжиана для этого случая.
Т.е. лагранжиан - это просто функция от всевозможных комбинаций координат и их производных, и эти координаты и их производные совсем не обязаны быть функцией времени. Мы их можем задавать произвольно и независимо.

Возьмем простейший случай, на котором обычно обьясняют смысл лагранжиана: свободное движение тела в поле силы тяжести. Допустим, тело переместилось из начальной точки пространства-времени $A=(x_1,y,_1z_1,t_1)$ в конечную $B=(x_2,y_2,z_2,t_2)$. Вопрос: через какие точки пространства-времени оно прошло?
Решаем задачу так: задаем между этими точками любую кривую в пространстве-времени в виде $x=x(s), y=y(s), z=z(s), t=t(s)$, где $s$- просто какой-то параметр. Для каждой точки $s$ этой кривой у нас теперь есть координаты $(x,y,z)$ и их производные $(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})$, а значит - есть и значение лагранжиана $L(x, y, z, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})$ (а функция лагранжиана у нас в данном случае - для движения точки в поле силы тяжести). Интегрируем этот лагранжиан вдоль всей кривой (в виде $\int\limits_{A}^{B}Ldt$). Если этот интеграл стационарен (т.е. при малом изменении траектрии он не меняется), то это и есть истиная кривая движения тела в пространстве-времени между заданными начальной и конечной точками. А если нет - значит мы неправильно взяли кривую. Нужно попробовать другую.

Что такое вообще "скорость в точке траектрии"? Возьмем кривую, выберем на ней точку и проведем касательную к кривой в этой точке. Интуитивно ясно, что такая касательная однозначно определена. Так же ясно, что если нам дана только одна эта точка кривой, а самой кривой нет, то касательную провести невозможно. Потому, что мы строим касательную к кривой в точке, а не касательную к точке в точке. Поэтому для определения скорости в точке траектрии нужна сама эта траектрия, а не просто одна ее точка, в которой нужно определить скорость. Если нам дана только точка координат, про которую неизвестно, на какой траектрии она лежит, то мы ничего не можем сказать о скорости в этой точке. Скорость тогда нужно просто задать отдельно, как независимую переменную. Именно так мы и задаем координаты и скорости в лагранжиане.

[sergey zhukov]

Да, еще по вопросу о том, почему скорости в лагранжиане записаны, как производные координат по времени, хотя координаты в лагранжиане - это не функции времени.

Когда мы берем пробную, так сказать, траекторию $x=x(s), y=y(s), z=z(s), t=t(s)$, то координаты становятся функциями времени и появляются соответствующие производные от них по времени. Т.е. координаты становятся функциями времени благодаря пробной (вообще говоря, произвольно выбранной) траектории, а не благодаря лагранжиану. Пока пробная траектория не выбрана, координаты в лагранжиане не есть функции времени, а скорости - не есть производные координат по времени. Лагранжиан определен сразу для всех мыслимых и независимых координат и скоростей, это пробная траектория делает из координат функции от времени.

[alcoholist]

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

Лагранжиан в общем случае зависит от мгновенных координат и скоростей или от их функций?

$t^4+1$ это функция от $t$, или от $t^2$?

[dewjjon]

Всем спасибо за ответы! Подскажите, пожалуйста, правильно ли я понял на этот раз. Пусть есть фиксированная траектория движения точки, она задается функцией $q(t)$, в каждой точке определена ее скорость как производная $\frac{dq}{dt}$, тогда лагранжиан в определенный момент времени задается как $L(q(t_1), \dot{q}(t_1), t_1)$. Но тогда опять возникает вопрос-если траектория точки задана, то ее скорость определяется в каждый момент времени $t_1$ производной от функции $q(t)$, тогда для определения лагранжиана достаточно знать только функцию $q(t)$.

[Slav-27]

Всё правильно. Важно, что для определения лагранжиана в фиксированный момент времени $t_1$ не обязательно что-то знать про положение системы в другие моменты времени: достаточно лишь знать 2 числа $q(t_1)$ и $\dot{q}(t_1)$.

[Pphantom]

dewjjon в сообщении #1522636 писал(а):

Но тогда опять возникает вопрос-если траектория точки задана, то ее скорость определяется в каждый момент времени $t_1$ производной от функции $q(t)$, тогда для определения лагранжиана достаточно знать только функцию $q(t)$.

Да, это верно, но подобная задача нереалистична - если вы уже знаете траекторию точки, то вам попросту не нужен лагранжиан (да и что-либо еще).

[sergey zhukov]

dewjjon
Лагранжиан - это функция от $q$ и $\dot{q}$ (и, может быть, от $t$). Например, $L=q-\dot{q}^2$. Все, это вполне определенная функция лагранжиана, тут ничего добавлять не нужно. Нам не нужно знать $q=q(t)$, чтобы определить лагранжиан.
Например, лагранжиан механической системы равен разности ее кинетической и потенциальной энергий. Скажем, если рассматривается одна материальная точка в однородном гравитационном поле, то в одномерном случае ее кинетическая энергия равна $T=\frac{1}{2} m\dot{q}^2$, а потенциальная $P=mgq$. Лагранжиан равен $L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2 -mgq$. Все, это полностью определенный лагранжиан. Эта функция имеет вполне определенное значение для материальной точки, имеющей любую координату $q$ и любую скорость $\dot{q}$. Здесь $q$ и $\dot{q}$ - это вещи совершенно независимые, а лагранжиан - функция двух независимых переменных. Мы всегда можем представить себе материальное тело, находящееся в любой точке $q$ и имеющей любую скорость $\dot{q}$. Ни о какой траектории или взаимосвязи между $q$ и $\dot{q}$ тут думать вообще не нужно.
В лагранжиан не входит зависимость $q=q(t)$, потому, что эта зависимость задается уже конкретной траекторией системы. А лагранжиан пишется не для конкретной траектории, а для всех положений и всех скоростей системы сразу.
Мы можем подсчитать лагранжиан на точках конкретной траектории, для этого мы и подставляем в него эту траекторию $q=q(t)$. Тогда $q$ и $\dot{q}$ становятся связанными. Но это не значит, что до подстановки $q=q(t)$ лагранжиан не был определен. Это значит просто, что теперь мы считаем его именно на конкретной траектории.

[maximav]

dewjjon в сообщении #1522389 писал(а):

Почему лагранжиан зависит от скорости и координаты, но не зависит от ускорения и высших производных координат?

Нет, вовсе не должен. Это называется лагранжевы модели с высшими производными, а для т.н. задач с высшими спинами и вовсе порядок производных не ограничен. Погуглите также метод/переменные Остроградского. В стандартной классической физике "только 1-е производные" - это потому, что мы знаем, что наши уравнения должны иметь не выше чем 2-й порядок (причинность и т.д.). Грубо говоря, первая производная - это потому, что в наших теориях есть понятие время и соответствующие физические величины, которые содержат его с необходимость (дэ икс по дэ тэ один раз). А вторая производная - это уже не переменная, а нечто задаваемое извне: называется сила.