Чему равен i в степени i

[catharsis1996]

У меня вопрос, которым уже не первый раз озадачивает преподаватель студентов.
Чему равен i в степени i ? i - это у нас мнимая единица.

[Someone]

catharsis1996 писал(а):

Чему равен i в степени i ? i - это у нас мнимая единица.

По определению степени: $i^i=e^{i\cdot\mathop\mathrm{Ln}i}$. Дальше нужно вспомнить, как вычисляется логарифм комплексного числа.

[PHT]

Так натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу:
$Lnz = \ln \left| z \right| + iArgz$
И че получаем при $z = i$?

[4arodej]

подставим $i$ вместо $z$: $Ln i=\ln|i|+i Arg i = \ln 1 + i*\left(\frac\pi 2 +2\pi k\right)$

Тогда $i^i=e^{i* Ln i}=e^{i*i*\left(\frac\pi 2 +2\pi k\right)}=e^{-Arg i}$

[нг]

catharsis1996
Пожалуйста, начинайте новую тему, а не вставляйте свой вопрос в случайно выбранную чужую.

Если есть вопросы, воспользуйтесь ЛС.

[leoopoldo]

У меня получается, что i в степени i - действительное число, равное
e^-pi/2
Для проверки достаточно в формуле Эйлера e^(ix)=cos(x)+isin(x)взять
x=pi/2 и обе части равенства возвести в степень i.

[ewert]

ну только надо все же иметь в виду, что $z_1^{z_2}$ -- функция принципиально неоднозначная. То, что сейчас среди ветвей нашлась вещественная -- это, в некотором смысле, случайность...

[Профессор Снэйп]

$$ i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi k}, \,\, k \in \mathbb{Z} $$

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

$$ i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi k}, \,\, k \in \mathbb{Z} $$

Ну, коль уж пошла такая пьянка, исправим ещё одну ошибку:
... Исправил.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

$$ i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi k}, \,\, k \in \mathbb{Z} $$

Ну, коль уж пошла такая пьянка, исправим ещё одну ошибку:

$$ i^i = e^{-\pi^2/4 + \pi^2 k}, \,\, k \in \mathbb{Z} $$

А Вы уверены? Откуда у Вас эти квадраты?

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

А Вы уверены? Откуда у Вас эти квадраты?

А это я решил сделать ошибку, чтоб было, что исправлять.