Голоморфная и непостоянная функция в круге

[mclord]

Здравствуйте!

Возникла проблема со следующей задачей:

Пусть функция $f$ голоморфна и непостоянна в круге $\mathbb{D}=\left\lbrace\left\lvert z \right\rvert < 1\right\rbrace$ и пусть $\left\lvert f(z)\right\rvert \leqslant 1$ при $z\in \mathbb{D}$. Пусть $a\in \mathbb{D} $. Доказать, что при всех $z\in \mathbb{D}$ с условием $z\ne a$ выполнено
$\left\lvert\dfrac{f(z)-f(a)}{1 - \overline{f(a)}f(z)}\right\rvert \leqslant \left\lvert \dfrac{z-a}{1 - \overline{a}z }\right\rvert$.

Я доказывал следующим образом:
Так как $f(z)\not\equiv \operatorname{const}$, то, по принципу максимума модуля, $\left\lvert f(z)\right\rvert < 1$ при $\left\lvert z \right\rvert < 1$. Тогда для $g(z) = \dfrac{f(z)-f(a)}{1 - \overline{f(a)}f(z)}$ имеем $\left\lvert g(z)\right\rvert \leqslant 1$, $\left\lvert z \right\rvert < 1$ и $g(a) = 0$.
Рассмотрим функцию $g(\dfrac{z+a}{1+\overline{a}z})$. Она голоморфна в круге $\left\lvert z\right\rvert < 1$ и в точке $0$ равна нулю.
Тогда $\dfrac{1}{z}g(\dfrac{z+a}{1+\overline{a}z})$ - голоморфно продолжается на весь круг $\left\lvert z \right\rvert < 1$ и на окружности $\left\lvert z \right\rvert = \rho,\rho<1,$ удовлетворяет неравенству $\left\lvert\dfrac{1}{z}g(\dfrac{z+a}{1+\overline{a}z})\right\rvert \leqslant \dfrac{1}{\rho}$.
По принципу максимума, это неравенство выполняется и при $\left\lvert z \right\rvert < \rho$. При $\rho \to 1 $ получаем
$\left\lvert\dfrac{1}{z}g(\dfrac{z+a}{1+\overline{a}z})\right\rvert \leqslant 1$, т.е. $\left\lvert g(\dfrac{z+a}{1+\overline{a}z})\right\rvert \leqslant \left\lvert z\right\rvert$.
Вместо $z$ подставим $\dfrac{z-a}{1-\overline{a}z}.$ Получим $\left\lvert g(z)\right\rvert \leqslant \left\lvert \dfrac{z-a}{1-\overline{a}z}\right\rvert$, что и требовалось доказать.

Вопрос в следующем: в самом начале (первая строка доказательства) я пользуюсь тем, что $\left\lvert g(z)\right\rvert \leqslant 1$. Как это факт можно строго доказать?

[nnosipov]

mclord в сообщении #1522318 писал(а):

Как это факт можно строго доказать?

Обозначим $f(z)=Z$, $f(a)=A$. Тогда $g(z)=(Z-A)/(1-\overline{A}Z)$, при этом $|A|<1$ и $|Z|<1$. Что в таком случае можно сказать про $|g(z)|$?

-- Сб июн 12, 2021 16:44:38 --

mclord в сообщении #1522318 писал(а):

с условием $z\ne a$

А чем $z=a$ не устраивает?

[mclord]

Я пытался сделать что-то подобное
$\left\lvert\dfrac{Z-A}{1-\overline{A}{Z}}\right\rvert\leqslant \dfrac{\left\lvert Z \right\rvert}{\left\lvert 1-\overline{A}{Z}\right\rvert} + \dfrac{\left\lvert A \right\rvert}{\left\lvert 1-\overline{A}{Z}\right\rvert}$ и оценить, но все равно не получается

nnosipov в сообщении #1522330 писал(а):

А чем $z=a$ не устраивает?

Устраивает, конечно же. Просто задача так сформулирована.

-- 12.06.2021, 14:04 --

Я пытался сделать что-то подобное
$\left\lvert\dfrac{Z-A}{1-\overline{A}{Z}}\right\rvert\leqslant \dfrac{\left\lvert Z \right\rvert}{\left\lvert 1-\overline{A}{Z}\right\rvert} + \dfrac{\left\lvert A \right\rvert}{\left\lvert 1-\overline{A}{Z}\right\rvert}$ и оценить, но все равно не получается

nnosipov в сообщении #1522330 писал(а):

А чем $z=a$ не устраивает?

Устраивает, конечно же. Просто задача так сформулирована.

[nnosipov]

mclord в сообщении #1522349 писал(а):

Я пытался сделать что-то подобное

Нет. Нужно вспомнить про дробно-линейные преобразования единичного круга в себя. Какой формулой они описываются?

[novichok2018]

Лемма Шварца, теорема Шварца-Пика, см. вики или Голузина. Это неравенство между двумя гиперболическими расстояниями.

[mclord]

$\omega = \dfrac{z-\alpha}{\overline{\alpha}z-1},\alpha=\rho e^{i\varphi}$.
Значит, основная мысль в том, что точки останутся внутри единичной окружности после отображения $g(z)$?

[nnosipov]

Ну да, только и всего.