Целая часть числа

[gefest_md]

Подскажите как найти \left[\sqrt{n^2+5n}\right]. График не помогает.

[ewert]

$\sqrt{n^2+5n}=n\sqrt{1+{5\over n}}\sim n(1+{5\over 2n})=n+{5\over 2}$.
Т.е. для всех достаточно далёких $n$ целая часть будет равна $(n+2)$. Но не для всех вообще -- например, для единички это неверно.

Дальше надо, наверное, найти границу, где добавляемая единица превращается в двойку, но это уже лень.

[Батороев]

Для натуральных $n$:
$ n^2+5n = n^2+4n+4+n-4 = (n+2)^2+n - 4 $
$ (n+2)^2 < (n+2)^2+n -4 < (n+3)^2 $ (за исключением $ n<4 $, для $n=4$ в левой части - равенство),
следовательно, для $n>3$ целая часть числа $ [\sqrt{n^2+5n}] = (n+2) $.

[gefest_md]

Если $n\in\mathbb{R}\wedge n>3$, тогда $\left[\sqrt{n^2+5n}\right]=\left[n+2\right]$?

[Профессор Снэйп]

gefest_md писал(а):

Если $n\in\mathbb{R}\wedge n>3$, тогда $\left[\sqrt{n^2+5n}\right]=\left[n+2\right]$?

Нет, это только для натуральных $n$. А для $n \in \mathbb{R}$ это не так.

1) Пусть $n = 3.01$. Тогда $\sqrt{n^2+5n} \approx 4.91$ и $\left[\sqrt{n^2+5n}\right] < \left[n+2\right]$.

2) Пусть $n=9.9$. Тогда $\sqrt{n^2+5n} \approx 12.15$ и $\left[\sqrt{n^2+5n}\right] > \left[n+2\right]$.

[gris]

gefest_md писал(а):

График не помогает.

Вам бы сразу помог Excel. Построить таблицу минутное дело, а по ней бы Вы сразу догадались о решении. (Разумеется, не о доказательстве, а только возможном ответе)

[Батороев]

Кстати,
т. к. $ n^2+5n = n^2 + 6n + 9 - n - 9 $,
то для отрицательных целых $n<-8$ справедливо неравенство:
$ (n+3)^2<(n+3)^2 - (n+9)<(n+2)^2 $ (для $ n = -9 $ в левой части - равенство),
следовательно, для отрицательных целых чисел $ n<-8$ целой частью числа $ \sqrt{n^2+5n} $ является: $ -(n+3) $.