Дифференцируемость и непрерывная дифференцируемость

[artempalkin]

Представим, что функция $f(x)$ дифференцируема на отрезке, но не непрерывно дифференцируема, и $x_0$ - точка разрыва производной. Проверим значение ее правой производной исходной функции в точке $x_0$.

$f'(x_0+0)=\lim\limits_{x\to x_0+}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0+}\frac {f'(\xi)(x-x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0+}f'(\xi)=\lim\limits_{x\to x_0+}f'(x)$

то есть значение правой производной будет равно правому пределу производной в этой точке как функции. То же и про левую производную. Но производная претерпевает разрыв, значит правый и левый пределы не равны (или не существуют), а значит правая и левая производные в точке не равны (или не существуют), а значит функция не дифференцируема в точке $x_0$.

К чему я все это... а в чем тогда разница между дифференцируемостью на отрезке и непрерывной дифференцируемостью на отрезке?

[Nemiroff]

Как вы обосновываете последнее равенство в вашей цепочке?

[worm2]

У $f'(x)$ может не быть даже правостороннего предела. Пример Помпею в помощь.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1521562 писал(а):

Как вы обосновываете последнее равенство в вашей цепочке?

$\xi$ находится между $x_0+$ и $x$, что означает, что если $x\to x_0+$, то и $\xi$ тоже

[Nemiroff]

Поэтому, если $\lim\limits_{x\to x_0+}f'(x) = A$, то и $\lim\limits_{x\to x_0+}f'(\xi)=A$. Почему верно обратное?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1521565 писал(а):

$\xi$ находится между $x_0+$ и $x$, что означает, что если $x\to x_0+$, то и $\xi$ тоже

Но $\xi(x)$ (лучше явно указать аргумент, чтобы видеть, где $x$ важен) не пробегает же весь отрезок.
Пусть например $g$ - функция Дирихле, $\xi(x)$ - какая-нибудь функция, принимающая рациональные значения, причем $\xi(x) < x$. Тогда $\lim g(\xi(x)) = 1$, а $\lim g(x)$ не существует.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1521570 писал(а):

Поэтому, если $\lim\limits_{x\to x_0+}f'(x) = A$, то и $\lim\limits_{x\to x_0+}f'(\xi)=A$. Почему верно обратное?

Я просто заменил букву $\xi$ на $x$ :) Название буквы роли не играет

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1521578 писал(а):

Я просто заменил букву $\xi$ на $x$

Так делать нельзя. У вас же $\xi$ не переменная, а зависящая от $x$ функция.

[Nemiroff]

artempalkin в сообщении #1521578 писал(а):

Я просто заменил букву $\xi$ на $x$ :) Название буквы роли не играет

Неправда. Если вы замените букву, будет $\lim\limits_{\xi\to x_0+}f'(\xi)=A$. А у вас $\lim\limits_{x\to x_0+}f'(\xi)=A$.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1521592 писал(а):

Неправда. Если вы замените букву, будет $\lim\limits_{\xi\to x_0+}f'(\xi)=A$. А у вас $\lim\limits_{x\to x_0+}f'(\xi)=A$.

mihaild в сообщении #1521580 писал(а):

Так делать нельзя. У вас же $\xi$ не переменная, а зависящая от $x$ функция.

Да, я понимаю. Можно считать, что я думал о ситуации, когда в точке $x_0$ у производной разрыв первого рода, либо с одной из сторон она стремится к бесконечности. Тогда такие рассуждения верны.

Значит, у производной дифференцируемой на отрезке функции не может быть разрыва первого рода, и она не может ни в одной точке стремиться к бесконечности. Тогда, я полагаю, могут быть какие-то "экзотические" ситуации? или все же дифференцируемость функции на отрезке и непрерывная дифференцируемость - эквивалентные понятия?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1521753 писал(а):

Значит, у производной дифференцируемой на отрезке функции не может быть разрыва первого рода, и она не может ни в одной точке стремиться к бесконечности

Да, это классическая теорема анализа: производная принимает все промежуточные значения (обладает свойством Дарбу), т.е. если $f$ дифференцируема на $[a, b]$, $f'(a) \leq x \leq f'(b)$, то $\exists c \in [a, b]: f'(c) = x$. В частности, у производной не бывает разрывов первого рода.

artempalkin в сообщении #1521753 писал(а):

или все же дифференцируемость функции на отрезке и непрерывная дифференцируемость - эквивалентные понятия?

Нет конечно (про такие утверждения часто хорошо работает эвристика: если бы это было так, то не было бы двух разных понятий). Пример см., например, в "Контрпримерах в анализе".

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1521760 писал(а):

Нет конечно (про такие утверждения часто хорошо работает эвристика: если бы это было так, то не было бы двух разных понятий). Пример см., например, в "Контрпримерах в анализе".

Неееее, мне кажется, что эвристика все же может подвести :) Например, множества невырожденных и обратимых матриц :)

Но я конкретно думал о другом примере:

Цитата:

Непрерывность на отрезке и равномерная непрерывность на отрезке эквивалентны

То есть я размышлял, что, возможно, на каких-то экзотических множествах может быть все, что угодно (вот этим меня несколько отталкивает анализ по сравнению, например, с линалом: всегда остается какая-то неуверенность в своей правоте). Но на отрезке, допустим, эти характеристики эквивалентны.

-- 08.06.2021, 11:39 --

artempalkin в сообщении #1521762 писал(а):

Пример см., например, в "Контрпримерах в анализе".

В смысле книгу Бернард Р. Гелбаум, Джон М. Олмстед?