2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 02:54 


20/05/21
4
Добрый вечер всем!!! Я новенький.
Постигаю искусство математического анализа. Не понимаю один вопрос.

Есть функция $F(x)=X^{2}$. Приращение этой функции равно $2X{\text{d}X}$

Визуально это представляется как площадь квадрата, у которого увеличивают каждую стенку на ${\text{d}X}$. Получаем две дополнительные полоски с площадью $X{\text{d}X}$, они-то и есть дифференциал этой функции.

Но во многих учебниках и в видеоуроках Хуторянского и 3B1B еще откуда-то берется дополнительный маленький квадрат с площадью ${\text{d}X}{\text{d}X}$

Откуда он? Стенки квадрата же увеличиваются только вбок, но не по диагонали?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 04:09 
Аватара пользователя


23/12/18
250
"Увеличивают каждую стенку на $dX$" значит, что рассматривают квадрат (а не фигуру без угла) со стороной $X+dX$. Потому что если рассматривать фигуру без угла, её площадь будет уже не $(X+dX)^2$, а нам нужно $(X+dX)^2$.

-- 04.06.2021, 04:16 --

Визуально уголок квадрата "оттягивается" по диагонали и тянет за собой стенки

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 07:30 
Заслуженный участник


16/02/13
3886
Владивосток
Потому что дифференциал — линейная часть приращения. Разумеется, приращение на картинке будет 0,0061, учитывая маленький квадратик. А если прирастить на 0,001, то приращение функции будет 0,00601, если я не напутал с нулями. $dx$ — величина не просто оооочень маленькая, это бесконечно малая величина. По сравнению с ней $dx^2$ — просто ничто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 09:37 
Аватара пользователя


23/12/18
250
iifat
Так ТС же спрашивал не о малости $dx^2$, а о том, зачем нам вообще квадратик в углу, почему мы не рисуем вообще без него, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 11:00 
Заслуженный участник


16/02/13
3886
Владивосток
xagiwo,
Что значит — зачем? Квадратик в углу — он же есть! Но мы записываем дифференциал без него. Я и пытаюсь объяснить, почему его нет в формуле, хотя он есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 11:05 


11/02/20
57

(Оффтоп)

А зачем вообще эти квадратики? :shock: Только запутывают...

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 11:37 


21/05/16
4115
Аделаида

(Оффтоп)

Интересно, а через сколько сообщений возникнет вопрос "а зачем нам вообще эти приращения"? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 11:54 


20/05/21
4
xagiwo в сообщении #1521130 писал(а):
"Увеличивают каждую стенку на $dX$" значит, что рассматривают квадрат


Ну так нам и не нужен весь квадрат. Нам нужно только приращение квадрата. Оно - две полоски автоматически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 12:16 
Аватара пользователя


23/12/18
250
koliakrasnoff
Нет никакого "приращения квадрата". Приращение функции $F(x) = x^2$ это $(x+dx)^2 - x^2$ (с отброшенным $(dx)^2$, потому что оно мало по сравнению с $dx$, но об этом потом). И так уж получается, что $x^2$ это площадь квадрата со стороной $x$, а $(x+dx)^2$ это площадь квадрата со стороной $x+dx$, поэтому и получается такая картинка — маленький квадрат внутри большого. А откуда Вы взяли "приращение квадрата"? И с чего Вы взяли, что "оно — две полоски"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 12:21 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23723
Кронштадт
koliakrasnoff, вы в процессе как-то потеряли условие решаемой таким образом задачи. А оно выглядит как-то так:
Цитата:
$F(X)$ - площадь квадрата со стороной $X$. На какую величину увеличится площадь квадрата, если сторону квадрата увеличить на $dX$?
Ваша же фигура из исходного квадрата и двух полосок квадратом не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 12:38 
Заслуженный участник


23/07/08
9043
Харьков
koliakrasnoff
Вы находитесь в плену той картинки. Но сейчас я освобожу Вас от её власти. :-)
Смотрите! Это — известная картина Малевича «Приращение синего квадрата».
Изображение
Comment. Синий квадрат увеличивался четыре раза, но на каждом шаге он оставался верен квадратизму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 13:02 


05/09/16
9345
koliakrasnoff в сообщении #1521127 писал(а):
Но во многих учебниках и в видеоуроках Хуторянского и 3B1B еще откуда-то берется дополнительный маленький квадрат с площадью ${\text{d}X}{\text{d}X}$

Дифференциал это не всё приращение, а только его линейная часть - две полоски.
Маленький квадратик - нелинейная часть приращения, не включается в дифференциал.

Тут показательно чему равен дифференциал и полное приращение в нуле. Если поставить ноль вместо $X$ сюда
koliakrasnoff в сообщении #1521127 писал(а):
Есть функция $F(x)=X^{2}$. Приращение этой функции равно $2X{\text{d}X}$
То получите дифференциал, равный нулю. Но не приращение! Всё приращение будет состоять из нелинейной части приращения, то есть из этого "углового" квадратика.

Ключевое тут понять что значит "линейная часть". Как поймёте - так всё и разложится по полочкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 13:22 
Заслуженный участник


23/07/08
9043
Харьков

(Оффтоп)

kotenok gav в сообщении #1521146 писал(а):
Интересно, а через сколько сообщений возникнет вопрос "а зачем нам вообще эти приращения"? :-)
Ну, приращения ещё ладно, пусть живут. А вот вопрос "зачем нам вообще эти дифференциалы?" поднимался. Некоторые математики считают, что все необходимые питательные вещества можно получить и не употребляя в пищу дифференциалы, достаточно производных. См. книгу
М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. Стр.57, пункт «По поводу обозначений».
Оговорка. Нелюбовь Спивака к дифференциалам не распространяется на "внешний дифференциал формы" и на "дифференциал отображения", более похожие на производные. С ними всё в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 19:09 


20/05/21
4
Кажется понял. Квадрат является квадратным квадратом по определению древних греков. Сторона должна увеличиваться только с одного конца и продолжаться до упора. Маленький квадратик закрашивается автоматически. Пойду Эвклида почитаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Визуализация дифференциала функции X^2
Сообщение04.06.2021, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17683
Москва
koliakrasnoff в сообщении #1521127 писал(а):
Есть функция $F(x)=X^{2}$. Приращение этой функции равно $2X{\text{d}X}$
Нет, приращение равно $\Delta(X^2)=(X+dX)^2-X^2=2XdX+dX^2$ (Если что, $dX$ — это один символ, поэтому скобки вокруг него не обязательны. И аккуратнее писать не $dX$, а $\Delta X$, хотя потом и обосновывается, что для независимой переменной $X$ выполняется равенство $dX=\Delta X$.) А $d(X^2)=2XdX$ — это дифференциал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group