Сгладить функцию

[meshok]

Доброго времени суток!
Есть такая функция $f(x)=x(1-x) \chi_{[0,1]}(x)$. Она непрерывная, но в точках $0$ и $1$ не дифференцируема.

Есть ли какой-нибудь стандартный способ изменить эту функцию в окрестностях $(-\varepsilon,\varepsilon)$ и $(1-\varepsilon,1+\varepsilon)$ так, чтобы полученная функция была хотя бы один раз дифференцируемой.

[alisa-lebovski]

Возвести в квадрат.

[Sender]

Можно продифференцировать, сделать в точках разрыва линейный переход и проинтегрировать обратно.

[мат-ламер]

Попробовать использовать вот это .

[FL91]

Можно было бы свернуть с чем-нибудь финитным и гладким, но тогда значения вне указанных окрестностях изменятся.
А в общих чертах, для чего это нужно?

[Pphantom]

meshok, вам явно стоит привести критерии, определяющие допустимые изменения, иначе возможных вариантов будет слишком много.

[meshok]

Всем спасибо за подсказанный инструментарий.
Функция, которая указана в моем стартовом сообщении, обладает тем свойством, что она неотрицательна, она интегрируема, её производная интегрируема, её вторая производная и интегрируема, и ограничена, и в то же самое время, такой интеграл

$$A=\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{1}{f(x)}\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2dx $$

расходится.
Но загвоздка в том, что если читать свойства указанной функции с конца (а так и стоит задача), то из ограниченности и интегрируемости второй производной автоматически следует непрерывность и даже липшицевость первой, а в этом примере это не так. Среди каких-нибудь стандартных функций такую найти не удалось. Я и подумал: взять такую параболу, затем намножить счетное число экземпляров: каждый следующий экземпляр будет сглажен все ближе к краю (за счет этого добиться увеличения интеграла $(A)$ для каждого последующего экземпляра) и будет ниже и уже (чтобы сохранить интегрируемость всех производных), и расставить эти все экземпляры на вещественной оси - это и будет сооружаемая функция.
Получилось сгладить, как советовали, через линейный переход и интегрирование, но от сглаживания появляются другие проблемы.