Задача на деление отрезка в данном отношении.

[TOTAL]

svv в сообщении #1520896 писал(а):

У меня проще.

У меня круче.
Проведём $SN||ER$, затем $SM||QE||NT$. Очевидно, $ME=MN$.

Теперь ${PR}/{RQ}={PS}/{ST}={PS}/{QS}$.

[math.fi]

Спасибо, всем. Все решения хорошие. Я думал не так как нужно.

[svv]

Вот ещё одно решение, основанное на анализе площадей треугольников.

Треугольники, как на левой картинке, будем называть смежными. Их площади относятся как основания.
Пусть $PR:RQ:QS=\lambda:1:\mu$, где $\lambda$ известно, а $\mu$ надо найти.
Проведём через $Q$ отрезок $NM$ параллельно сторонам $AB$ и $CD$ (не показаны). Тогда $NQ=QM$.

1) Примем площадь $QRN$ за $1$.
2) $PRE$ подобен ему с коэффициентом $\lambda$, поэтому его площадь $\lambda^2$.
3) $RQE$ смежный ему, его площадь $\lambda$, а площадь $NQE$ равна $\lambda+1$.
4) $QME$ смежный ему, основания равны, его площадь тоже $\lambda+1$.
5) $RQ:QS=1:\mu, \;NQ=QM$, поэтому площадь $QSM$ равна $\mu$, а площадь $QSE$ равна $\lambda+1+\mu$.
6) С другой стороны, площадь того же $QSE$, как смежного $RQE$, равна $\mu\lambda$.
Из уравнения $\lambda+1+\mu=\mu\lambda$ находим $\mu=\frac{\lambda+1}{\lambda-1}$.