Как будет правильно?

[Ilnur]

При обозначении предела числовой последовательности и числового ряда какая запись будет правильной:

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ , $\sum\limits_{n=1}^{ \infty} a_n$

или

$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$ , $\sum\limits_{n=1}^{ +\infty} a_n$?

Если писать вместо одного обозначения другое (т.е. вместо $+\infty$ $\infty$) будет ли ошибкой?

[GAA]

Как правило, числовая последовательность индексируется при помощи натурального индекса. В этом случае запись
$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$ или $\sum\limits_{n=1}^{ +\infty} a_n$
будет просто содержать избыточный знак «+».
Но, при очень сжатом изложении, запись $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$ может вводить в заблуждение, поскольку можно подумать: «а не пробегает ли $n$ целые значения?».

Моё мнение: писать $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$ в случае натурального $n$ — неправильно.

[Ilnur]

Если я правильно понял, то правильно будет

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ , $\sum\limits_{n=1}^{ \infty} a_n$ !

[GAA]

Ilnur писал(а):

Если я правильно понял, то правильно будет
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ , $\sum\limits_{n=1}^{ \infty} a_n$ !

Да, если последовательность есть функция натурального $n$.

[ET]

GAA писал(а):

Да, если последовательность есть функция натурального $n$.

При чем тут функция? Предел последовательности и предел функции - разные понятия, хоть и похожие и одинаково записываемые. Если бы речь шла о функции, тогда как минимум не помешал бы плюсик перед бесконечностью, но тут речь о пределе последовательности. При нем не сложилась традиция писать этот плюс. И добавление плюсика в записи ничего не меняет из-за своего определения предела в данном случае (несколько отличного от определения предела функции).

[Ilnur]

По определению предела функции,
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$
уже различаются, это понятно.

В литературе предел числовой последовательности и числовой ряд обозначаются и символами
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ , $\sum\limits_{n=1}^{ \infty} a_n$,
а так же
$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$, $\sum\limits_{n=1}^{ +\infty} a_n$.
Хотел выяснить, считается ли ошибкой, если, например, вместо $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ написать $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$.

[ET]

Почему на мой взгляд не стоит писать плюсик у предеал последовательности:
Чтобы отличить предел последовательности от предела функции, типа такого:
$\lim\limits_{n \to \infty} sin(\pi*n)$
от
$\lim\limits_{n \to +\infty} sin(\pi*n)$

Первый предел =0, второй не существует

[Ilnur]

ET писал(а):

Почему на мой взгляд не стоит писать плюсик у предеал последовательности:
Чтобы отличить предел последовательности от предела функции, типа такого:
$\lim\limits_{n \to \infty} sin(\pi*n)$
от
$\lim\limits_{n \to +\infty} sin(\pi*n)$

Первый предел =0, второй не существует

Но тогда наверно правильнее будет написать второй предел в виде
$\lim\limits_{x \to +\infty} sin(\pi*x)$?!

[ET]

Цитата:

Но тогда наверно правильнее будет написать второй предел в виде
$\lim\limits_{x \to +\infty} sin(\pi*x)$?!

В каком смысле правильнее? Чем то что есть неправильно?:-)
есть 2 ассоциации с вашим постом - 1. кто-то у нас из параллельной группы рассказывал, что кто-то из преподов на семинаре как-то сказал "пусть это будет n. Нет, n мало, пусть будет m" 2. У ого-то тут на форуме подпись есть про последовательность $n_\epsilon$

[GAA]

Да, так, возможно, правильнее. Есть традиция обозначать целые переменные (и в частности натуральные) при помощи букв $i, j, k, l,m, n, o$ и возможно некоторых других, точно не помню. Эту традицию поддерживали и первые версии языка ФОРТРАН. (Давно не пишу на этом языке, но даже когда и писал, неявным описанием не пользовался, всегда описывал тип явно). Эту традицию можно поддерживать, но не стоит на неё расчитывать - описывайте все переменные в математических текстах.
Мне кажется тема исчерпана, если n является натуральным пишем
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$.
Так и писал выше. И другого мнения не поступало.
Не вижу, что тут еще можно обсуждать.
Добавлено утром 21.09.08
Уточнение. О соглашении в языке ФОРТРАН
В [1, c.16] можно найти: «Стандартное соглашение о типах означает, что имена, которые начинаются с букв I, J, K, L, M и N представляют данные типа INTEGER со стандартной длиной, а остальные имена — данные типа REAL со стандартной длиной.» Не любят программисты букву «o».

[1] ФОРТРАН 77 ЕС ЭВМ / Брич З.С., Гулецкая О.Н., Капилевич Д.В. и др. — М.: Финансы и статистика, 1989.

[ewert]

Да, на Фортране ровно так и было (я, правда, имел дело только с 4-м). И смутно кажется, что ровно так же было и на ПиЭле. Во всяком случае, для меня было лёгким шоком, когда вдруг выяснилось, что все, ну буквально все переменные нужно объявлять явно, и насколько помню, шок этот случился именно при переходе с ПиЭля на Паскаль.