Пример монотонного нелинейного оператора

[Arastas]

Готовлю один документ, и мне для иллюстрации хочется привести пример нелинейного гладкого монотонного оператора $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$, то есть функции $f$, такой что для любых $a,b\in\mathbb{R}^2$, $a\ne b$, справделиво

$$\left(a-b\right)^\top\left(f(a)-f(b)\right)>0.$$

Полез в книги и конспекты, которые под рукой, но там либо примеры линейных операторов, либо какие-то совсем искуственные, кусочно-заданные примеры. Хотелось бы что-то более наглядное. Не подскажете?
Варианты типа

$$f(x_1,x_2) = \begin{bmatrix}f_1(x_1)\\f_2(x_2)\end{bmatrix}$$

с монотонными $f_1$, $f_2$ не предлагать. :)

[demolishka]

Можно брать нелинейные возмущения соответствующих линейных операторов (например, малые). Это по существу и есть пример. Только дело в том, что куда полезнее не ограничиваться каким-то $\mathbb{R}^{2}$ и стандартным скалярным произведением, а использовать квадратичные формы (функции Ляпунова), причем не обязательно коэрцитивные (и я бы добавил, что не обязательно знакоопределенные), с аналогичными свойствами. Вот в соседней теме как раз упоминал про уравнение Ляпунова. Тут без приложений к диффурам - никуда. Причем, если при положительно определенной форме получается стандартный результат типа экспоненциальной устойчивости, то для знакопеременной формы (при правильном обобщении условия сильной монотонности), например, с отрицательным $j$-мерным подпространством, получается задача о восстановлении полудихотомии: всё экспоненциально сжимается до $j$-мерного инвариантного подмногообразия (это то, что называется теорией инерциальных многообразий).

Если хочется знакопеременного аналога не сильного (strong), а строгого (strict) условия монотонности, то это строгая монотонность относительно конусов высшего ранга (объект изучения современного направления монотонной динамики). Тут получаются более слабые, нежели в теории инерциальных многообразий, результаты, но они находят своё применение для многих специфических систем.

То есть, полезными оказываются не сами классические условия строгой и сильной монотонности, а их правильные геометрические обобщения, которые встречаются куда чаще.