Порожденная сигма-алгебра

[Taras]

Найти сигма-алгебру, порожденную лучами на плоскости.

Сначал думал, что борелевская, но потом передумал врядли треугольничек или квадратик можна лучами заполнить.
Как можна думать дальше?

[Brukvalub]

Taras в сообщении #151847 писал(а):

Сначал думал, что борелевская, но потом передумал Very Happy врядли треугольничек или квадратик можна лучами заполнить.
Как можна думать дальше?

А почему каждый элемент порождённой сигма-алгебры должен заполняться лучами?

[Taras]

Я написал лишнее. (Думал, что можна сделать с лучей на плоскости все замкнутые или открытые множества, но это очевидно, неправильно.)

[PAV]

Как Вы думаете, будут ли в этой сигма-алгебре содержаться отдельные точки? отрезки? прямые?

[Taras]

Отдельные точки - да, как пересечение лучей.
Прямые-да, как объединение лучей, которые лежат на одной прямой.
Отрезки-да, как пересечение лучей, которые лежат на одной прямой.

Прошу обратить внимание, что дело происходит на плоскости!

[PAV]

Отлично. Теперь возьмем на этой плоскости какую-нибудь прямую и одномерное борелевское множество на этой прямой. Будет ли оно принадлежать искомой сигма-алгебре?

[Taras]

Будет

[PAV]

Ясно, что если мы возьмем счетное множество прямых и на каждой - одномерное борелевское множество, то их объединение будет также принадлежать сигма-алгебре. Совокупность всех таких множеств уже замкнута относительно счетных объединений и пересечений. Остается придумать, как быть с дополнениями.

[Taras]

Идея-понятна.
Если доказать, что множество, елементами которго служат счетные объединения/пересечения борелевых множеств на прямых и их дополнений, есть сигма-алгебра, то тогда она будет совпадать с порожденной, так как 1) она содержит лучи.
2)содержится в порожденной сигма-алгебре.
Осталось только проверить эти условия.
Спасибо, PAV.

[alleut]

Вопрос по сигма-алгебре в целом.
Как доказать, что сигма-алгебра (не используя то, что сигма-алгебра это сигма-кольцо) замкнута относительно вычитания $\setminus$?
Пусть сигма-алгебра на совокупности подмножеств множества $X$ - это $\Sigma$.
тогда для любых $A, B$ из $\Sigma$: $X \setminus A \in \Sigma$

$$A = A \cup (A \setminus B)$$

$$X \setminus (A \cup (A \setminus B)) \in \Sigma$$

$$(X \setminus A) \cup (X \setminus (A \setminus B)) \in \Sigma$$

Следует ли из этого, что $X \setminus (A \setminus B) \in \Sigma$?

или

$$A \setminus B = (X \setminus B) \cap A$$

откуда, по свойствам сигма-алгебры

$$(A \setminus B) \in \Sigma$$

?

Что-то я запутался

[ewert]

alleut писал(а):

$$A \setminus B = (X \setminus B) \cap A$$

откуда, по свойствам сигма-алгебры

$$(A \setminus B) \in \Sigma$$

?

Да. Только не по свойствам, а по аксиомам. Кстати, приставка "сигма-" здесь не при чём.

[alleut]

ewert писал(а):

alleut писал(а):

$$A \setminus B = (X \setminus B) \cap A$$

откуда, по свойствам сигма-алгебры

$$(A \setminus B) \in \Sigma$$

?

Да. Только не по свойствам, а по аксиомам. Кстати, приставка "сигма-" здесь не при чём.

А разве у сигма-алгебр не две аксиомы:
1) счетное объединение элементов сигма-алгебры принадлежит ей
2)

$$ \forall A \in \Sigma \Rightarrow X \setminus A \in \Sigma$$

откуда уже выводится для пересечения элементов?
Или вы это и имели в виду?

[ewert]

да, Вы правы, для пересечения -- это уже свойство. Но счётность всё-таки не при чём.

[alleut]

ewert писал(а):

да, Вы правы, для пересечения -- это уже свойство. Но счётность всё-таки не при чём.

в данном случае и конечного объединения будет достаточно, т. е. алгебры.
спасибо