Функ. анализ, спектр оператора в гильбертовом пространстве.

[hCyerdnA]

Здравствуйте, решаю следующую задачу:
Пусть H -- гильбертово пространство, $\sigma(A) $ --спектр оператора в H.
Доказать, что $\sigma(A) \subseteq \overline{ W(A)}, $ где $\overline{W(A)} = \{ \langle Ax,x \rangle : \|x\|=1 \}$ -- замыкание в $\mathbb{C}$.

Я пытался доказывать так.
Пусть $\lambda \notin \overline{W(A)}$. Тогда существует $\delta > 0$ т., ч. $| \langle Ax,x \rangle - \lambda | \geq \delta$. Тогда, для любого $x \in H \quad |\langle (A - \lambda I)x,x \rangle| \geq \delta \|x\|^2$.
Оператор $A-\lambda I$ инъективен. Иначе, есть $x \neq 0$ т.,ч $(A-\lambda I)x=0$, а это противоречит последнему неравенству.

Осталось доказать, что он сюрьективен. Т.е нужно показать, что $\operatorname{Im} (A - \lambda I) = H $.
Из неравенства следует, что $\operatorname{Im} (A - \lambda I) ^{ \perp } = \{0\}$. Так как $H = \overline { \operatorname{Im} (A - \lambda I)} \oplus \operatorname{Im} (A - \lambda I) ^{ \perp }$, то $\overline { \operatorname{Im} (A - \lambda I)} = H$. Но этого мало.

[demolishka]

Покажите замкнутость образа.

[hCyerdnA]

А, ну да.
$y_n \in \operatorname{Im} (A- \lambda I), \quad y_n \to y \in H$.
$\exists x_n : (A- \lambda I)x_n = y_n, \quad x_n \to x \in H.$
Если $A$ -- непрерывен, то $Ax_n \to Ax$.
Переходя к пределу, получим, что $Ax - \lambda x = y$. Значит, $ y \in \operatorname{Im} (A- \lambda I) $.
Тогда, $ \overline {\operatorname{Im} (A- \lambda I)} = \operatorname{Im} (A- \lambda I) = H$.
Вроде, так. Спасибо за ответ.

[demolishka]

Если понимаете откуда взялось

hCyerdnA в сообщении #1520402 писал(а):

$ x_n \to x \in H.$

то верно.

[hCyerdnA]

H -- гильбертово, то есть полное.

[svv]

(hCyerdnA)

Даже если формула состоит из одной буквы, как $H$, окружайте её двумя знаками доллара: $H$. В сообщении не будет стилистического разнобоя, не говоря о том, что этого требуют правила.