В чем разница между замкнутостью и полнотой?

[Ivan_B]

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. стр. 96 писал(а):

Определение 1. Если в пространстве $R$ любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. стр. 140 писал(а):

В нормированном пространстве основной интерес представляют замкнутые линейные подпространства, т. е. подпространства,содержащие все свои предельные точки.

Что значит "все предельные точки", что является признаком того, что кая-то предельная точка отсутствует?
Если признаком является наличие фундаментальной последовательности, которая ни к какой точке не сходится, то замкнутость не отличается от полноты. Зачем тогда два термина?
Вот если взять в качестве метрического пространства $\mathbb R -\{0\}$ c расстоянием $\rho(x, y) = |x-y|, \quad x,y \in \mathbb R - \{0\}$, можно ли считать $0$ отсутствующей предельной точкой?

[Mikhail_K]

Ivan_B в сообщении #1519729 писал(а):

Что значит "все предельные точки", что является признаком того, что кая-то предельная точка отсутствует?

Для множества в метрическом пространстве (в частности, в линейном нормированном) есть понятие предельных точек. Предельными точками множества могут быть, в том числе, точки вне этого множества, но лежащие в рассматриваемом пространстве. Найдите определение предельной точки множества в том же самом учебнике и посмотрите.

Ivan_B в сообщении #1519729 писал(а):

Вот если взять в качестве метрического пространства $\mathbb R -\{0\}$ c расстоянием $\rho(x, y) = |x-y|, \quad x,y \in \mathbb R - \{0\}$, можно ли считать $0$ отсутствующей предельной точкой?

Нет, нельзя. Если Вы берёте в качестве метрического пространства $\mathbb{R}\backslash\{0\}$, то в нём просто нет точки $0$, и она не может быть предельной точкой для чего бы то ни было.

А вот если Вы возьмёте метрическое пространство $\mathbb{R}$ и множество $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ в нём, то точка $0$ (на этот раз принадлежащая пространству) будет предельной точкой для этого множества.

В Вашем исходном вопросе, как раз, есть нормированное пространство и множество в нём (линейное подпространство). И можно посмотреть, какие точки пространства являются предельными для этого множества. Если все они множеству принадлежат, то множество замкнутое, в противном случае незамкнутое.

Ivan_B в сообщении #1519729 писал(а):

Если признаком является наличие фундаментальной последовательности, которая ни к какой точке не сходится, то замкнутость не отличается от полноты. Зачем тогда два термина?

Есть простая теорема: подпространство (в смысле теории метрических пространств) полного метрического пространства полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в этом пространстве.

Подчеркну, что это работает, только если объемлющее пространство само полно. Например, множество $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ представляет собой замкнутое множество в метрическом пространстве $\mathbb{Q}$ со стандартной метрикой, однако оно же представляет собой неполное подпространство этого пространства. Всё оттого, что само объемлющее пространство $\mathbb{Q}$ неполное. Будь оно полным, для его подмножеств замкнутость и полнота были бы равносильными понятиями (с поправкой на то, что слово "замкнутость" относится к множествам в метрическом пространстве, а слово "полнота" к метрическим пространствам, в частности, к подпространствам исходного).

[Ivan_B]

Mikhail_K в сообщении #1519731 писал(а):

Найдите определение предельной точки множества в том же самом учебнике и посмотрите.

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. стр. 85 писал(а):

х называется предельной точкой множества М, если каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку из М, отличную от х.

Mikhail_K в сообщении #1519731 писал(а):

Предельными точками множества могут быть, в том числе, точки вне этого множества, но лежащие в рассматриваемом пространстве.

Тогда получается нельзя сказать замкнуто данное пространство или нет. Можно сказать, что любое пространство замкнуто по отношению к самому себе. Если рассматривать его как подпространство некоторого другого пространства, то оно может оказаться и не замкнутым.

Для того, чтобы сказать является ли некоторое пространство полным, второе пространство не нужно.

[Mikhail_K]

Ivan_B в сообщении #1519732 писал(а):

Тогда получается нельзя сказать замкнуто данное пространство или нет. Можно сказать, что любое пространство замкнуто по отношению к самому себе. Если рассматривать его как подпространство некоторого другого пространства, то оно может оказаться и не замкнутым.

Для того, чтобы сказать является ли некоторое пространство полным, второе пространство не нужно.

Да, всё верно.

[Ivan_B]

Спасибо за Ваши ответы!

[Sycamore]

Ivan_B в сообщении #1519732 писал(а):

получается нельзя сказать замкнуто данное пространство или нет. Можно сказать, что любое пространство замкнуто по отношению к самому себе.

пространство дробей/рациональных чисел не полно (поскольку "большинство" фундаментальных его последовательностей к дробям его не сходятся) и не знаю можно ли обозвать замкнутым

[Mikhail_K]

Sycamore в сообщении #1519750 писал(а):

пространство дробей/рациональных чисел не полно (поскольку "большинство" фундаментальных его последовательностей к дробям его не сходятся) и не знаю можно ли обозвать замкнутым

Если не знаете, то, пожалуйста, и не пишите в чужой теме в ПРР. Во всяком случае, предложения, отличные от вопросительных.
Любое пространство, в т.ч. $\mathbb{Q}$, замкнуто в самом себе. Разумеется, то же самое $\mathbb{Q}$ не замкнуто в $\mathbb{R}$.

[Pphantom]

Sycamore, замечание за оффтопик. Последовавший вопрос отделен в отдельную тему.

[alcoholist]

Mikhail_K в сообщении #1519736 писал(а):

Тогда получается нельзя сказать замкнуто данное пространство или нет. Можно сказать, что любое пространство замкнуто по отношению к самому себе. Если рассматривать его как подпространство некоторого другого пространства, то оно может оказаться и не замкнутым.

Кстати, есть понятие абсолютно замкнутого пространства. Топологическое пространство $X$ называется абсолютно замкнутым, если оно хаусдорфово и для любого топологического вложения $f\colon X\to Y$ в хаусдорфово пространство $Y$ образ $f(X)$ замкнут в $Y$. То есть $X$ замкнуто в любом объемлющем топологическом пространстве.

см. Александров П. С, Урысон П. С, Мемуар о компактных топологических пространствах