Фихтенштольц

[xagiwo]

У Фихтенгольца весьма необычное доказательство теоремы Штольца (его можно посмотреть в википедии). Пусть этот вопрос имеет слабое отношение к математике, но мне очень любопытно — после того, как доказано, что $(\forall n > N) |\frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L| < \varepsilon / 2$, какие бесы рассуждения могли привести Фихтенгольца к тому, чтобы записать равенство ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)$ вместо чуть более очевидного $\frac{a_n} {b_n} = \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} + (\frac{a_n} {b_n} - \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N})$?

[Padawan]

Наверное, чтобы как можно короче доказать теорему.

xagiwo в сообщении #1519660 писал(а):

$\frac{a_n} {b_n} = \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} + (\frac{a_n} {b_n} - \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N})$

А что даёт это равенство? Его как минимум надо дальше преобразовывать.

[xagiwo]

Padawan
Ну, вторая скобка стремится к нулю (это очевидно, но из мазохизма можно и доказать), и можно зафиксировать $M$ так, чтобы для $n > M$ она была меньше $\varepsilon / 2$. Вариант Фихтенгольца такой же длины, но его равенство выглядит взятым с потолка. Как говорил

Не помню кто в сообщении #1502643 писал(а):

Формула как обухом по голову.

-- 23.05.2021, 08:07 --

PS. поясню: меня интересует скорее откуда Фихтенгольц взял формулу, чем почему он воспользовался именно ей (может, решил не думать над вторым доказательством, когда одно у него уже было)

[Gagarin1968]

xagiwo в сообщении #1519660 писал(а):

Фихтенштольц

xagiwo
Название темы исправьте. Проявите уважение к Григорию Михайловичу.

[Mikhail_K]

Gagarin1968

(Оффтоп)

Это у ТС такая забавная игра слов: Фихтенгольц + (теорема) Штольца.

[Padawan]

xagiwo в сообщении #1519665 писал(а):

Ну, вторая скобка стремится к нулю (это очевидно, но из мазохизма можно и доказать), и можно зафиксировать $M$ так, чтобы для $n > M$ она была меньше $\varepsilon / 2$.

Не очевидно.

[xagiwo]

Padawan
И правда не очевидно. Тогда у Фихтенгольца действительно доказательство короче. И откуда взялась формула, я тоже, кажется, понял — нужно, чтобы по формуле было видно, что из малости $\frac{a_n - a_N} {b_n - b_N} - L$ следует малость $\frac {a_n} {b_n} - L$. Если для простоты домножить $\frac{a_n - a_N} {b_n - b_N} - L$ на $b_n - b_N$, становится совсем очевидно, как нужно дальше преобразовывать, чтобы получить $\frac {a_n} {b_n} - L$ (отнять лишнее и поделить на $b_n$)

-- 23.05.2021, 10:15 --

А ещё можно продолжить преобразовывать $\frac{a_n} {b_n} - \frac{a_n - a_N} {b_n - b_N}$, увидеть, что оно близко к $\frac{a_n b_N} {b_n (b_n - b_N)}$ и тут не доказывать, что это стремится к нулю, а просто перенести из правой части моего равенства в левую и работать с тем, что получилось

[Padawan]

xagiwo стремление к нулю следует из равенства

Padawan в сообщении #1502755 писал(а):

$$ \frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

но его тоже надо как-то получить.

-- Вс май 23, 2021 12:29:14 --

xagiwo в сообщении #1519676 писал(а):

И откуда взялась формула, я тоже, кажется, понял

Так Фихтегольц также так-сяк крутил эту разность ну и получил формулу. А когда она уже получена, то зачем лишнее писать.

[xagiwo]

Ну так пока не понимаешь, как именно он крутил, это просто магия. Вдруг за формулой стоит какая-то непостижимая жуть