Десятичная запись квадрата числа

[marie-la]

Действительное число $0.x_1 x_2 x_3 ... $ назовем повторяющимся, если его десятичная запись содержит одинаковые блоки сколь угодно большого размера, то есть для любого $k$ найдутся разные натуральные $m$ и $n$, что $x_m=x_n, x_{m+1}=x_{n+1},..., x_{m+k-1}=x_{n+k-1}$. Доказать, что квадрат повторяющегося числа повторяющийся.

Я поняла, что блоки можно сделать непересекающимися. Далее, попыталась расписать квадрат суммы блоков: цифры до первого блока, первый блок, между двумя блоками, второй блок, остальные цифры. Но у меня там накладываются слагаемые и ничего не выходит.

Прошу помощи сообщества.

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1519505 писал(а):

Доказать, что квадрат повторяющегося числа повторяющийся.

Повторяющие числа рациональны и их можно представить рациональной дробью. Квадрат рационального числа рационален и его можно представить дробью, которую затем можно представить в виде повторяющего числа.

[marie-la]

мат-ламер в сообщении #1519506 писал(а):

Повторяющие числа рациональны и их можно представить рациональной дробью. Квадрат рационального числа рационален и его можно представить дробью, которую затем можно представить в виде повторяющего числа.

Нет, не обязательно рациональны. Между повторяющимися блоками могут быть неповторяющиеся какие угодно куски.
Например, число $0.112222333333111111112222222222...$ повторяющееся иррациональное.

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1519508 писал(а):

Между повторяющимися блоками могут быть неповторяющиеся какие угодно куски.

Ах, вот оно как? Тогда эта задача не на тему рациональных чисел, а гораздо глубже. Так оно или не так, можно выяснить, если бы вы сказали, по какому курсу задача и предполагаемый уровень её сложности. Возьмём число $\pi$ . Предполагается, что если мы возьмём произвольную конечную последовательность цифр, то рано или поздно такая последовательность встретится в записи числа $\pi$ . Как называются числа с таким свойством, я не помню. Можно предположить, что если мы рассмотрим остаток записи числа $\pi$ правее найденного куска, то в этом остатке опять найдётся этот кусок. И этот процесс можно продолжать счётное число раз. Пока это недоказанная гипотеза. Числа, обладающие таким свойством, назовём повторяющимися. Надо доказать, что класс повторяющихся чисел замкнут относительно произведения.

В такой постановке ваша задача представляется довольно сложной. Может быть вы неправильно переписали условие. Либо условие изначально было некорректно сформулировано.

[marie-la]

мат-ламер в сообщении #1519510 писал(а):

В такой постановке ваша задача представляется довольно сложной.

Я переписала в том виде, как она была. Мне кажется условие вполне ясно сформулированным. Задача с заочной олимпиады, вроде школьной или начальных курсов. Я тоже думаю, что задача сложная.

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1519512 писал(а):

Я переписала в том виде, как она была.

В условии говорится только

marie-la в сообщении #1519505 писал(а):

Действительное число $0.x_1 x_2 x_3 ... $ назовем повторяющимся, если ... для любого $k$ найдутся разные натуральные $m$ и $n$, что $x_m=x_n, x_{m+1}=x_{n+1},..., x_{m+k-1}=x_{n+k-1}$.

Что-то я затупил. Отсюда пока ничего сразу не следует. Не следует, что таких повторяющихся блоков бесконечно много. Не следует, что между ними вставки разных или одинаковых размеров. Пока постулируется, что если мы выберем какой-то размер блока, то для такого размера существует по крайней мере два блока, для которых второй повторяет первый. Причём, где находится второй блок, не ясно. Они могут и налегать друг на друга. И не факт, что существует третий блок. Наверное надо танцевать сугубо от этого определения и ничего пока не домысливать.

[marie-la]

мат-ламер в сообщении #1519515 писал(а):

Отсюда пока ничего сразу не следует.

Я вроде ничего не домысливала. Написала, что число не обязательно рациональное, потому что может быть вот так.
Я могу доказать, что можно выбрать ненакрывающие блоки сколь угодно большого размера. Это несложно. Не знаю, нужно ли это для решения.

[мат-ламер]

Пока я склоняюсь к мысли, что задача сформулировано небрежно. И если придерживаться той формулировки, что выписана в первом посту, то на счёт квадрата ничего не докажешь. Ибо класс повторяющихся чисел представляется достаточно широким.

P.S. Уточню. Я просто склоняюсь к мысли, но не уверен в её достоверности.

[worm2]

Исходя из того, что сформулировано, я склоняюсь к тому, что любое число является повторяющимся (принцип Дирихле мне это подсказывает).

[marie-la]

worm2
Спасибо!