2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Порожденная сигма-алгебра
Сообщение19.10.2008, 21:07 
Аватара пользователя
:arrow: Найти сигма-алгебру, порожденную лучами на плоскости.

Сначал думал, что борелевская, но потом передумал :D врядли треугольничек или квадратик можна лучами заполнить.
Как можна думать дальше?

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 21:22 
Аватара пользователя
Taras в сообщении #151847 писал(а):
Сначал думал, что борелевская, но потом передумал Very Happy врядли треугольничек или квадратик можна лучами заполнить.
Как можна думать дальше?
А почему каждый элемент порождённой сигма-алгебры должен заполняться лучами?

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 21:26 
Аватара пользователя
Я написал лишнее. :oops: (Думал, что можна сделать с лучей на плоскости все замкнутые или открытые множества, но это очевидно, неправильно.)

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 21:43 
Аватара пользователя
Как Вы думаете, будут ли в этой сигма-алгебре содержаться отдельные точки? отрезки? прямые?

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 21:47 
Аватара пользователя
Отдельные точки - да, как пересечение лучей.
Прямые-да, как объединение лучей, которые лежат на одной прямой.
Отрезки-да, как пересечение лучей, которые лежат на одной прямой.

Прошу обратить внимание, что дело происходит на плоскости! :idea:

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 21:55 
Аватара пользователя
Отлично. Теперь возьмем на этой плоскости какую-нибудь прямую и одномерное борелевское множество на этой прямой. Будет ли оно принадлежать искомой сигма-алгебре?

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 21:58 
Аватара пользователя
Будет

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 22:43 
Аватара пользователя
Ясно, что если мы возьмем счетное множество прямых и на каждой - одномерное борелевское множество, то их объединение будет также принадлежать сигма-алгебре. Совокупность всех таких множеств уже замкнута относительно счетных объединений и пересечений. Остается придумать, как быть с дополнениями. :?

 
 
 
 
Сообщение20.10.2008, 16:18 
Аватара пользователя
Идея-понятна.
Если доказать, что множество, елементами которго служат счетные объединения/пересечения борелевых множеств на прямых и их дополнений, есть сигма-алгебра, то тогда она будет совпадать с порожденной, так как 1) она содержит лучи.
2)содержится в порожденной сигма-алгебре.
Осталось только проверить эти условия.
Спасибо, PAV.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 21:44 
Аватара пользователя
Вопрос по сигма-алгебре в целом.
Как доказать, что сигма-алгебра (не используя то, что сигма-алгебра это сигма-кольцо) замкнута относительно вычитания $\setminus$?
Пусть сигма-алгебра на совокупности подмножеств множества $X$ - это $\Sigma$.
тогда для любых $A, B$ из $\Sigma$: $X  \setminus A \in \Sigma$
$$A = A \cup (A \setminus B)$$
$$X \setminus (A \cup (A \setminus B)) \in \Sigma$$
$$(X \setminus A) \cup (X \setminus (A \setminus B)) \in \Sigma$$
Следует ли из этого, что $X \setminus (A \setminus B) \in \Sigma$?

или
$$A \setminus B = (X \setminus B) \cap A$$
откуда, по свойствам сигма-алгебры
$$(A \setminus B) \in \Sigma$$ ?

Что-то я запутался :?

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 21:50 
alleut писал(а):
$$A \setminus B = (X \setminus B) \cap A$$
откуда, по свойствам сигма-алгебры
$$(A \setminus B) \in \Sigma$$ ?

Да. Только не по свойствам, а по аксиомам. Кстати, приставка "сигма-" здесь не при чём.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 21:59 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
alleut писал(а):
$$A \setminus B = (X \setminus B) \cap A$$
откуда, по свойствам сигма-алгебры
$$(A \setminus B) \in \Sigma$$ ?

Да. Только не по свойствам, а по аксиомам. Кстати, приставка "сигма-" здесь не при чём.

А разве у сигма-алгебр не две аксиомы:
1) счетное объединение элементов сигма-алгебры принадлежит ей
2) $$ \forall A \in \Sigma \Rightarrow X  \setminus A \in \Sigma$$
откуда уже выводится для пересечения элементов?
Или вы это и имели в виду?

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 22:06 
да, Вы правы, для пересечения -- это уже свойство. Но счётность всё-таки не при чём.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 22:09 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
да, Вы правы, для пересечения -- это уже свойство. Но счётность всё-таки не при чём.

в данном случае и конечного объединения будет достаточно, т. е. алгебры.
спасибо :)

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group