Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Сначал думал, что борелевская, но потом передумал Very Happy врядли треугольничек или квадратик можна лучами заполнить. Как можна думать дальше?
А почему каждый элемент порождённой сигма-алгебры должен заполняться лучами?
Taras
19.10.2008, 21:26
Я написал лишнее. (Думал, что можна сделать с лучей на плоскости все замкнутые или открытые множества, но это очевидно, неправильно.)
PAV
19.10.2008, 21:43
Как Вы думаете, будут ли в этой сигма-алгебре содержаться отдельные точки? отрезки? прямые?
Taras
19.10.2008, 21:47
Отдельные точки - да, как пересечение лучей.
Прямые-да, как объединение лучей, которые лежат на одной прямой.
Отрезки-да, как пересечение лучей, которые лежат на одной прямой.
Прошу обратить внимание, что дело происходит на плоскости!
PAV
19.10.2008, 21:55
Отлично. Теперь возьмем на этой плоскости какую-нибудь прямую и одномерное борелевское множество на этой прямой. Будет ли оно принадлежать искомой сигма-алгебре?
Taras
19.10.2008, 21:58
Будет
PAV
19.10.2008, 22:43
Ясно, что если мы возьмем счетное множество прямых и на каждой - одномерное борелевское множество, то их объединение будет также принадлежать сигма-алгебре. Совокупность всех таких множеств уже замкнута относительно счетных объединений и пересечений. Остается придумать, как быть с дополнениями.
Taras
20.10.2008, 16:18
Идея-понятна.
Если доказать, что множество, елементами которго служат счетные объединения/пересечения борелевых множеств на прямых и их дополнений, есть сигма-алгебра, то тогда она будет совпадать с порожденной, так как 1) она содержит лучи.
2)содержится в порожденной сигма-алгебре.
Осталось только проверить эти условия.
Спасибо, PAV.
alleut
21.01.2009, 21:44
Вопрос по сигма-алгебре в целом.
Как доказать, что сигма-алгебра (не используя то, что сигма-алгебра это сигма-кольцо) замкнута относительно вычитания ?
Пусть сигма-алгебра на совокупности подмножеств множества - это .
тогда для любых из : Следует ли из этого, что ?
или
откуда, по свойствам сигма-алгебры
?
Что-то я запутался
ewert
21.01.2009, 21:50
alleut писал(а):
откуда, по свойствам сигма-алгебры ?
Да. Только не по свойствам, а по аксиомам. Кстати, приставка "сигма-" здесь не при чём.
alleut
21.01.2009, 21:59
ewert писал(а):
alleut писал(а):
откуда, по свойствам сигма-алгебры ?
Да. Только не по свойствам, а по аксиомам. Кстати, приставка "сигма-" здесь не при чём.
А разве у сигма-алгебр не две аксиомы:
1) счетное объединение элементов сигма-алгебры принадлежит ей
2) откуда уже выводится для пересечения элементов?
Или вы это и имели в виду?
ewert
21.01.2009, 22:06
да, Вы правы, для пересечения -- это уже свойство. Но счётность всё-таки не при чём.
alleut
21.01.2009, 22:09
ewert писал(а):
да, Вы правы, для пересечения -- это уже свойство. Но счётность всё-таки не при чём.
в данном случае и конечного объединения будет достаточно, т. е. алгебры.
спасибо