Параметрические распределения вероятностей

[denny]

Предположим, у нас есть случайное блуждание

$$Y_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}{X_{i}}$$

где смещение $X_{i}$ распределено, допустим, по нормальному закону:

$$p(X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp {\biggl (}{-{\frac {X^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\biggr )}$$

Но что, если при каждом испытании распределение $p(X)$ меняется?
Предположим, что $\sigma$ -- также случайная переменная, допустим, с равномерным распределением:

$$q(\sigma)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad \mathrm {for} \ a\leq \sigma\leq b,\\[8pt]0\quad \mathrm {for}\ \sigma< a \quad \mathrm {or}\ \sigma> b \end{cases}}$$

И на каждом шаге сначала "выбирается" $\sigma$, подставляется в Гаусса, и по полученному распределению выбирается $X_{i}$

Возможно, все просто, но я никак не могу понять - как в таком случае будет выглядеть анализ случайного блуждания? Как считать среднее, возвращение и т.д.?

Ну и уж совсем "эзотерический" вопрос. В распределении $\sigma$ также участвуют параметры $a,b$. А что, если они также будут случайными, со своим параметрическим распределением и т.д.? Есть какие-то результаты по такой вложенной параметризации? Сходимость какая-то и т.п.?

[artempalkin]

А в чем принципиальная разница вашего подхода и обычной полной вероятности?
$F_{X_i}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\sigma q(\sigma)\int\limits_{-\infty}^{x}dy \ p(y)$ - это функция распределения

[denny]

artempalkin в сообщении #1518393 писал(а):

А в чем принципиальная разница вашего подхода и обычной полной вероятности?
$F_{X_i}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\sigma q(\sigma)\int\limits_{-\infty}^{x}dy \ p(y)$ - это функция распределения

Да, похоже, что я это и имел в виду.
Но с другой стороны, получается, результаты будут зависеть только от полного интеграла
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\sigma q(\sigma)$
?

[artempalkin]

denny в сообщении #1518397 писал(а):

Но с другой стороны, получается, результаты будут зависеть только от полного интеграла

Не-а, ведь $p(y)$ содержит $\sigma$ (в таком случае правильнее было бы писать $p(y,\sigma)$)

[denny]

А, все, теперь понятно! Ну и если продолжать параметризацию, то будут просто добавляться интегралы.
Спасибо!

[svv]

denny в сообщении #1518389 писал(а):

Но что, если при каждом испытании распределение $p(X)$ меняется?

Авторы книг по теорверу утверждают, что выпадение орла при броске монеты — случайное событие с вероятностью $\frac 1 2$. Не верьте! Это событие детерминированное, просто при каждом броске его вероятность меняется, принимая значение либо 0, либо 1 (и заранее неизвестна, конечно).

[denny]

svv в сообщении #1518451 писал(а):

denny в сообщении #1518389 писал(а):

Но что, если при каждом испытании распределение $p(X)$ меняется?

Авторы книг по теорверу утверждают, что выпадение орла при броске монеты — случайное событие с вероятностью $\frac 1 2$. Не верьте! Это событие детерминированное, просто при каждом броске его вероятность меняется, принимая значение либо 0, либо 1 (и заранее неизвестна, конечно).

Хмм. . Ну, может не настолько радикально.
Но когда говорят "мы выполним миллион испытаний для случайного блуждания, и каждый раз смещением будет случайная величина, равномерно распределенная от -1 до +1" - это как-то неправдоподобно имхо.
Я скорее физик.

Интересно вот что! Какие свойства блужданий сохранятся, если при каждом шаге распределение будет другим? Теоремы о возвращениях, об уходе в бесконечность? Насколько можно менять распределения?

[alisa-lebovski]

denny в сообщении #1518464 писал(а):

Интересно вот что! Какие свойства блужданий сохранятся, если при каждом шаге распределение будет другим? Теоремы о возвращениях, об уходе в бесконечность? Насколько можно менять распределения?

Если конечные средние и дисперсии, то по большому счету все равно. А вот при более тяжелых хвостах становится по-другому.

[artempalkin]

denny в сообщении #1518464 писал(а):

Интересно вот что! Какие свойства блужданий сохранятся, если при каждом шаге распределение будет другим? Теоремы о возвращениях, об уходе в бесконечность? Насколько можно менять распределения?

Ничего не сохранится. По сути все величины у вас будут по-разному распределены, а все теоремы подразумевают одно распределение величин

[alisa-lebovski]

artempalkin в сообщении #1518475 писал(а):

а все теоремы подразумевают одно распределение величин

Вообще-то есть ЗБЧ и ЦПТ для по-разному распределенных случайных величин.

[artempalkin]

alisa-lebovski в сообщении #1518476 писал(а):

Вообще-то есть ЗБЧ и ЦПТ для по-разному распределенных случайных величин.

Такие, конечно, сохранятся :)

[denny]

alisa-lebovski в сообщении #1518476 писал(а):

artempalkin в сообщении #1518475 писал(а):

а все теоремы подразумевают одно распределение величин

Вообще-то есть ЗБЧ и ЦПТ для по-разному распределенных случайных величин.

Да, я покурил эту тему. Есть формулировки ЗБЧ (Маркова и Колмогорова), где не требуется одинаковость распределения, а только выполнение условий на дисперсию и среднее.

Тоже и ЦПТ - в формулировках Линдеберга и Ляпунова обязательны лишь некие конкретные неравенства, а не формы распределений.

Что касается случайных блужданий, то (из Вики):
Для шагов, распределенных в соответствии с любым распределением с нулевым средним и конечной дисперсией, среднее квадратическое пройденного после n шагов расстояния определяется, как:

$$\sqrt {E|S_{n}^{2}|}=\sigma {\sqrt {n}}$$

Но по поводу возвращений в начало ничего не нашлось.

Да и вообще на эту тему маловато информации в "попсовых" источниках.

Все попавшиеся мне формулировки распадаются на 2 класса: либо требуется полная одинаковость распределения, либо достаточно условий на дисперсию и среднее. А что, если (как я собственно и спросил в начале) форма распределения будет одинакова (скажем, нормальное), а меняется только параметр? Причем либо по детерминированному закону (скажем периодически), либо также случайно. Мне кажется, для такого случая должны быть какие-то более сильные и определенные результаты.

-- 15.05.2021, 11:51 --

А в простейшем случае хорошо бы проверить мои вычисления, а то похоже я запутался в интегралах.
Предположим, величина $X$ распределена равномерно от $-m$ до $m$:

$$p(x,m)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<-m$;}\\ 0.5 m,&\text{если $-m\leqslant x \leqslant m$;}\\ 0,&\text{если $x>m$.} \end{cases}$$

Но при этом сам предел может быть случайным. Он равномерно распределен от 1 до 2:

$$q(m)=\begin{cases} 0,&\text{если $m<1$;}\\ 1,&\text{если $1\leqslant m \leqslant 2$;}\\ 0,&\text{если $m>2$.} \end{cases}$$

Полная плотность:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} q(t) p(x,t) dt$$

получилась такая:

$$f(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<-2$;}\\ -0.5\ln(-2/x),&\text{если $-2\leqslant x \leqslant -1$;}\\ \ln(2)/2,&\text{если $-1\leqslant x \leqslant 1$;}\\ 0.5\ln(2/x),&\text{если $1\leqslant x \leqslant 2$;}\\ 0,&\text{если $x>2$.} \end{cases}$$