2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изогнутый заряженный стержень
Сообщение07.05.2021, 21:43 


21/07/20
157
Однородно заряженный стержень заряда q и длины l изогнут посередине так, что его половины составляют угол $\alpha$ . Определите напряженность электрического поля на биссектрисе этого угла на малом расстоянии r от его вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение08.05.2021, 02:12 


20/04/10
1238
Русь
Рассмотреть конус (вращение стержня) и найти потенциал на оси. Интегрировать в сферических координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение08.05.2021, 11:44 
Заслуженный участник


30/01/09
5067
Чего-то у меня крайне простой ответ получился. Настолько простой, что я подозреваю, что либо я где-то ошибся, либо олимпиадность задачи заключается в том, что решение можно найти без всяких потенциалов, интегралов и производных. Пока ответ публиковать не буду. Буду перепроверять. А решал я так. Потенциал заряженного отрезка относительно точки мы можем найти. Это простой интеграл. У нас два отрезка, которые симметричны относительно точки. Значит потенциал удваиваем. Ну, а напряжённость поля есть градиент от этого потенциала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение08.05.2021, 15:32 


27/08/16
8581

(ответ)

$E=\frac{q}{2\pi\varepsilon r L}$, где $r$ - расстояние до угла. Без интегрирования, но всё равно возня с потенциалами и бесконечно малыми, в которых $\alpha$ сокращается. Как проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение09.05.2021, 10:15 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Если начинать непосредственно с напряженности и считать через углы, то с помощью геометрии/тригонометрии интеграл очень упрощается.
Можно, наверно, его даже совсем замаскировать до видимого исчезновения и предлагать задачу школьникам. Но все равно интеграл там будет.
Как можно совсем без интеграла? И чем конус лучше? В конусе же поверхностная плотность заряда не будет постоянной; так на так и получится.
Возможен, также, такой поворот событий, что есть формула, которую леди и джентльмены должны знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение09.05.2021, 11:23 


20/04/10
1238
Русь
Да, похоже, что с конусом проще не будет. Думал, что интеграл будет проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение09.05.2021, 11:41 


27/08/16
8581
Без интегралов - замечаем, что при смещении точки по биссектрисе, изменение потенциала связано только с участками на концах, которые становятся видны под другими углами. Что следует из интеграла в полярных координатах и постоянства линейной плотности заряда, но сам интеграл брать не нужно, достаточно подобия фигур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение09.05.2021, 16:43 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Забавно, что если изогнуть бесконечный стержень, то получится точный ответ, совпадающий с формулой для бесконечного неизогнутого стержня. С той разницей, что расстояени меряем от вершины.
Другими словами берём бесконечный стержень, изгибаем в какой-то точке, а напряженность поля на биссектрисе не меняется. Можно ли это доказать без интегралов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение09.05.2021, 17:20 


20/04/10
1238
Русь
Можно и без интегралов. Используем ответ для изогнутого стержня длины $\ell$ :-)
$$E=\frac{2k q}{x\sqrt{\ell^2+4x^2-4\ell x \cos\theta}}$$
Видно, что переход к пределу по $\ell$ стирает информацию об угле. Причём как к $+\infty$, так и к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение09.05.2021, 20:17 


21/07/20
157
lel0lel в сообщении #1517787 писал(а):
$$E=\frac{2k q}{x\sqrt{\ell^2+4x^2-4\ell x \cos\theta}}$$

С этой формулы и я начинал. При ее выводе пришлось вычислить простенький интеграл от синуса.
Следствия формулы для бесконечного стержня удивили: напряженность поля на биссектрисе угла не зависит от угла и формула имеет такой же вид, как для прямого провода.
Захотелось получить этот результат, не опираясь на общую формулу.
Сначала доказал (без интегрирования), что напряженность поля одинакова в равноудаленных от вершины точках, одна из которых лежит на биссектрисе внутри угла, а другая на биссектрисе "вне угла" (то есть на биссектрисе угла $2\pi-\alpha$). Тоже, на мой взгляд, контринтуитивный результат.
Дальше просто: вычислил напряженность поля двух пересекающихся бесконечно длинных прямых стержней и результат разделил на 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение10.05.2021, 07:21 
Заслуженный участник


21/09/15
998
realeugene в сообщении #1517715 писал(а):
Без интегралов - замечаем, что при смещении точки по биссектрисе, изменение потенциала связано только с участками на концах, которые становятся видны под другими углами. Что следует из интеграла в полярных координатах и постоянства линейной плотности заряда, но сам интеграл брать не нужно, достаточно подобия фигур.

Я не совсем вас понял. Я вижу два действия. Первое - пропорционально увеличить размеры конструкции, оставляя неизменной линейную плотность заряда.
При этом точка наблюдения сдвинется на $\Delta r$, $l$ увеличится на $\Delta l=\Delta r l/r$, потенциал в точке наблюдения очевидно не изменится.
Второе действие - убрать $\Delta l$, вычесть потенциал от них. Это сразу дает ответ (после деления на $\Delta r$ - напряженность), учитывая, что при малом $r$ расстояние от точки наблюдения до концов отрезков приблизительно $l$ (можно и точную формулу для этого расстояния взять).
Вы такое решение имели в виду? Если так, то что может быть проще?
Кстати, при таком подходе и равенство напряженности на внутренней и внешней биссектрисе очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение10.05.2021, 11:47 


27/08/16
8581
AnatolyBa в сообщении #1517897 писал(а):
Если так, то что может быть проще?
Да. Вы к моим рассуждениям добавили последний шаг, после которого ответ стал совершенно очевиден, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изогнутый заряженный стержень
Сообщение12.05.2021, 22:17 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.

(Оффтоп)

Допустим, $\alpha = 0$. Тем самым попадаем в могучую тему о распределении заряда на проводящей игле. Он там распределяется равномерно. Т.е. $E_{\parallel}$ в сложенном стержне всюду, за исключением, видимо, его концов, равна нулю. Выходит, при малейшем разводе стержней напряжённость меняется скачком?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group