Численное решение уравнения, похожего на уравнение Бесселя

[Ardunoid]

Здравствуйте!
Задано уравнение:
$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + \frac{3}{x} \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} + \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = 0$
Значение $\alpha$ задаётся. Достаточно ли условий
$u(x,0)=0$, $\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=0$ при $t=0$, $u(l,t)=\xi(t)$
$k \leqslant x \leqslant l$, $t \geqslant 0$
для решения уравнения?
Имеется ли способ получить аналитическое решение? Я пробовал пойти по методу Фурье, что привело к уравнению, похожему на уравнение Бесселя. Ознакомившись с теорией, предполагаю, что решение единственным может не получиться.
Или следует интегрировать численно? В таком случае предполагаю натолкнуться на шаблон типа "крест", где из пяти точек известны значения в двух?

[Vince Diesel]

А знак альфа какой?

[Ardunoid]

Vince Diesel в сообщении #1517601 писал(а):

А знак альфа какой?

Жаль, нельзя исправить заглавный пост.
$\alpha \geqslant 0$

[Vince Diesel]

При $\alpha>0$ это некие не зависящие от углов решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в цилиндре.

Условий для такой задачи недостаточно. Для однозначности при $x=0$ достаточно потребовать ограниченности решения. А предполагая, что оно гладкое, из симметрии следует, что $u_x|_{x=0}=0$. И какие-то условия при некотором $t=T>0$ (ну или на бесконечности). Иначе для нулевых условий подходит функция Грина с особенностью в точке $x=0$, $t=t_0>0$ в области $r<l$, $0<t<T$.

[novichok2018]

При неотрицательных альфа это уравнение имеет название, даже два. Это уравнение теории осесимметрического потенциала Вайнштейна (GASPT), или В-эллиптическое уравнение по И.А.Киприянову, изучено ими самими или учениками в их школах и последователями. В том числе и постановки задач, и численные решения есть в монографиях и работах по теме, почти всё есть в инете