Почему именно изоморфизм ?

[Qlin]

Почему алгебраические системы принято рассматривать с точностью до изоморфизма, а не с точностью до элементарной эквивалентности + равномощности ? В чём разница ?

[arseniiv]

Ну, изоморфизм проще определяется например. Плюс мы в идеале для общего случая хотим говорить о полной неразличимости двух систем, а не о неразличимости нашими ограниченными средствами. Как мне кажется.

[iifat]

Не встречал определения

Qlin в сообщении #1517185 писал(а):

элементарной эквивалентности

А вы?

-- 07.05.2021, 11:21 --

Если вы под элементарной эквивалентностью имеете в виду биективную функцию, то, во-первых, зачем говорить о равномощности, а во-вторых, это просто неверно почти всегда — при наличии какой-никакой структуры.

[arseniiv]

iifat в сообщении #1517275 писал(а):

Не встречал определения

Это из матлогики. Из распространённых книг вроде в том же Мендельсоне «Введение в математическую логику» (или как там) есть определение.

-- Пт май 07, 2021 08:36:52 --

Две алгебраические системы одной и той же сигнатуры элементарно эквивалентны, если язык первого порядка той же сигнатуры их не может различить, то есть любое предложение языка интерпретируется одинаково в обеих: или там и там истинно, или там и там ложно. Например $(\mathbb Q, {<})$, $(\mathbb Q[\sqrt 2], {<})$ и $(\mathbb R, {<})$ и $(\mathbb R^2, {<})$, последняя с лексикографическим порядком, элементарно эквивалентны.

Элементарная эквивалентность связана с полнотой теорий первого порядка: теория полна, если все её модели элементарно эквивалентны.

[Qlin]

arseniiv в сообщении #1517272 писал(а):

говорить о полной неразличимости двух систем, а не о неразличимости нашими ограниченными средствами

А в чём разница ? Есть какой-нибудь пример, когда первое имеет преимущество перед вторым ?

[Sinoid]

Qlin в сообщении #1517307 писал(а):

А в чём разница ?

Разница в том, говоря простым языком, что при простой

Qlin в сообщении #1517185 писал(а):

элементарной эквивалентности + равномощности

, вообще говоря, операции и отношения не сохраняются, а при изоморфизме - сохраняются по определению (а если при каком-нибудь отображении какая-то операция, хотя бы одна, или/и какое-то отношение, хотя бы одно, не сохраняются, то это отображение никакой и не изоморфизм вовсе), а, т. к. алгебру больше интересуют операции, чем элементы, над которыми эти операции производятся, то и становится понятным значимость понятия изоморфизм в алгебре или хоть в той же теории групп.

[kmpl]

Sinoid в сообщении #1517316 писал(а):

(а если при каком-нибудь отображении какая-то операция, хотя бы одна, или/и какое-то отношение, хотя бы одно, не сохраняются, то это отображение никакой и не изоморфизм вовсе)

Стандартное определение изоморфизма не такое сильное. Говоря об изоморфизме, нужно указывать, относительно каких операций/отношений мы этот изоморфизм рассматриваем. 2 структуры могут быть изоморфны относительно одной операции и не изоморфны относительно другой.

[mihaild]

Qlin в сообщении #1517307 писал(а):

Есть какой-нибудь пример, когда первое имеет преимущество перед вторым ?

Когда мы говорим об изоморфизме каких-то алгебраических структур, мы автоматически выходим из теории этих структур в какую-то метатеорию (как правило теорию множеств), в теории групп (в языке $\langle \{=\}, \{\cdot\}, \{e\}\rangle$) понятия изоморфизма групп вообще не формулируется.
И средствами теории множеств исследовать изоморфизмы групп довольно удобно, т.к. изоморфизм сам является множеством. А вот элементарная эквивалентность - какая-то непонятная синтаксическая конструкция, которая непонятно зачем нужна.

[Sinoid]

kmpl в сообщении #1517324 писал(а):

и не изоморфны относительно другой

Так правильно. Только при этом вы и не будете говорить о изоморфизме по той/тому операции/отношению.

-- 07.05.2021, 14:50 --

mihaild в сообщении #1517326 писал(а):

в теории групп (в языке $\langle \{=\}, \{\cdot\}, \{e\}\rangle$) понятия изоморфизма групп вообще не формулируется.

Как это? Изоморфизм групп - одно из основных понятий теории групп. Если так разобраться, то изоморфизм групп - одна из причин, по которой теория групп получила в математике то значение, которое она имеет. Хотя с учетом вот этого:

mihaild в сообщении #1517326 писал(а):

(в языке $\langle \{=\}, \{\cdot\}, \{e\}\rangle$

может, я что и недопонял, что хотели вы сказать.

[kmpl]

Sinoid в сообщении #1517327 писал(а):

Изоморфизм групп - одно из основных понятий теории групп.

Есть теория групп как раздел алгебры, а есть "формальная теория группы", как теория первого порядка с сигнатурой, которую привел mihaild. В этой формальной теории понятия изоморфизма групп нету (т.к. там, строго говоря, речь идет об одной абстрактной группе в вакууме).

[arseniiv]

Хотел сказать что-то типа того, что написал mihaild: изоморфизм «ближе к телу», кроме того он связан с такими полезными вещами как морфизмами вообще (которые позволяют нам на категорном языке описывать кучу разных свойств структур через их «поведение», а ведь нам важно в первую очередь поведение, а не то, как оно имплементировано, говоря языком программирования). Элементарная эквивалентность интуитивно требует два слоя метатеорий: первая говорит об элементах структур, а вторая говорит о том, что говорит первая. Эта вторая может быть нашей наивной теорией множеств или подобным основанием; для сравнения, изоморфизм сразу выражается в наивной теории множеств.

Лишний слой метатеории усложняет дела значительно, потому что нам приходится вспоминать обо всех логических подводных камнях типа теорем Гёделя, о повышении и понижении мощности и прочем, что напоминает нам, что когда мы говорим про то, что говорим про штуку, мы уже не говорим про саму штуку, всё. А цель у нас обычно говорить про штуку. Пока мы это делаем, мы как будто можем ощупать каждый её элемент. Когда мы поднимаемся выше, мы знаем, что не любой элемент выразим. Нам часто полезно знать, какие элементы выразимы и потому «стабильнее других», но обычно мы тогда имеем в виду какую-то теорию аксиоматически заданную, а не теорию одной конкретной структуры (и всех элементарно эквивалентных ей). Выразимость в теории конкретной структуры как-то не так полезна. Следовательно и элементарная эквивалентность не так полезна. Она вводится скорее как неизбежность работы с языками, а не как что-то, что должно быть чем-то лучше изоморфизма.

А изоморфизм — это просто самое мелкое отношение эквивалентности, которое осмысленно для того или иного типа структур. Как только мы пытаемся сделать его мельче, мы получаем просто целиком другой класс структур. Его впору бы вообще называть равенством, но нельзя, потому что выйдут проблемы (например вместо множеств мы получим кардиналы). Нам нужно равенство, но как правило оно нам всегда нужно «временно», в том или ином контексте, а изоморфизм — самая естественная вещь вне. Например вот две группы — если больше ничего не дано, то нет смысла спрашивать, равны ли они. Если эти две группы вложены в третью, то имеет смысл спрашивать, одна ли и та же это подгруппа, вложены ли они одинаковым образом.

[Qlin]

arseniiv в сообщении #1517272 писал(а):

мы в идеале для общего случая хотим говорить о полной неразличимости двух систем, а не о неразличимости нашими ограниченными средствами.

Что подразумевается под полной неразличимостью ? На теоретико-множественном уровне всегда должен быть способ отличить одну модель от другой модели, один элемент от другого элемента. При этом две модели могут иметь несколько разных изоморфизмов.

(Оффтоп)

Хотя, возможно, в какой-то формальной теории категорий имеются всякие разные морфизмы, но нет элементов, и нет необходимости думать про элементы. Я в эту тему особо не погружался.

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1517519 писал(а):

Что подразумевается под полной неразличимостью ?

Полная неразличимость с точки зрения сигнатуры (лишь её). И вот любая биекция $f \colon (A, \Sigma) \to (B, \Sigma)$, совместимая с $\Sigma$, и будет естественным свидетелем такой неразличимости. Нам не нужна биекция, которая сохраняет вообще всё, потому что математика в первую очередь изучает штуки с точки зрения «такие вот свойства нас сейчас интересуют, мы их кодифицируем, а всё остальное не важно», и она как правило с должной осторожностью не берётся определять, что такое в подобном контексте вообще всё.

Вообще я лично не совсем представляю, где вы более-менее в точности споткнулись, так что без дополнительных данных наверно предлагаю что-то невпечатляющее.

-- Сб май 08, 2021 21:05:48 --

Qlin в сообщении #1517519 писал(а):

Хотя, возможно, в какой-то формальной теории категорий имеются всякие разные морфизмы, но нет элементов, и нет необходимости думать про элементы.

Да, категория задаётся просто наборами объектов и морфизмов между ними, плюс аналогом структуры моноида* на этом всём: наличием тождественных морфизмов и набором операций композии $\operatorname{Hom}(A, B) \times \operatorname{Hom}(B, C) \to \operatorname{Hom}(A, C)$ для всех $A, B, C$ ну и соотношениями на них.

* Так как например категория из одного объекта и есть моноид. Аналогично есть предкатегории (или как там их… в этом случае терминология не очень устоявшаяся вроде пока) без тождественных морфизмов, что аналогично полугруппе, и группоиды, где все морфизмы должны иметь обратные — это аналогично группам.

-- Сб май 08, 2021 21:09:28 --

Qlin в сообщении #1517519 писал(а):

При этом две модели могут иметь несколько разных изоморфизмов.

Ну это конечно. Они так же могли бы иметь несколько разных свидетелей элементарной эквивалентности, если бы мы её «категоризовали». Лень думать, можно ли это устроить, так как не видно пользы.

[mihaild]

Да, изоморфизм еще может быть интересно изучать сами по себе (например смотреть на группу автоморфизмов какой-то структуры). Ничего аналогичного для элементарной эквивалентности, вроде бы, нет.
Причем две элементарно эквивалентные модели могут иметь разные группы автоморфизмов - например $(\mathbb Z, <)$ и $(\mathbb Z + \mathbb Z, <)$ (у первой модели группа автоморфизмов циклическая, у второй нет).