Найти предел последовательности

[Andrewkin77]

Всем добрый день! Требуется найти следующий предел последовательности:

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n}$$

Я знаю как найти предел такой функции: надо свести ко второму замечательному, а потом уже искать предел в показателе $e$. Но насколько я знаю, такое можно делать только с функциями в силу непрерывности экспоненты, а как быть с последовательностью? Могу я перейти к функции, заменив $n$ на $x$, найти предел функции, а потом сказать, что предел последовательности будет таким же?

Upd: исправил скобки

[Aritaborian]

А угловые скобки тут что-то особенное значат или это то же самое, что $\lim\limits_{n\to\infty}{\left (\frac{n+1}{n-1}\right )^n}$?

[Andrewkin77]

Aritaborian в сообщении #1517182 писал(а):

А угловые скобки тут что-то особенное значат или это то же самое, что $\lim\limits_{n\to\infty}{\left (\frac{n+1}{n-1}\right )^n}$?

То же самое, случайно не те поставил

[nnosipov]

Andrewkin77 в сообщении #1517178 писал(а):

а как быть с последовательностью?

Обычно число $e$ вводят как предел последовательности $(1+1/n)^n$. Вот этим и свойствами пределов последовательностей можно воспользоваться для вычисления Вашего предела.

[мат-ламер]

Andrewkin77 в сообщении #1517178 писал(а):

Могу я перейти к функции, заменив $n$ на $x$, найти предел функции, а потом сказать, что предел последовательности будет таким же?

И так тоже можно. Даже поучительно решить задачу разными способами и сравнить полученные результаты.

[Andrewkin77]

nnosipov в сообщении #1517187 писал(а):

Andrewkin77 в сообщении #1517178 писал(а):

а как быть с последовательностью?

Обычно число $e$ вводят как предел последовательности $(1+1/n)^n$. Вот этим и свойствами пределов последовательностей можно воспользоваться для вычисления Вашего предела.

То есть я могу сделать так:

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n} = \lim\limits_{n\to\infty}{\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{\frac{n-1}{2} \cdot \frac{2n}{n-1}}} = e^{\lim\limits_{n\to\infty}{\left(\frac{2n}{n-1}\right)}} = e^2$$

Или это как раз тот способ, который требует перехода к функции?

[nnosipov]

Andrewkin77 в сообщении #1517190 писал(а):

Или это как раз тот способ, который требует перехода к функции?

Да, здесь придется много чего обосновывать. Нет, я имел в виду более простые преобразования выражения под знаком предела. Начните, например, со следующего переписывания:

$$\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=\left(\frac{1+1/n}{1-1/n}\right)^n.$$

[Andrewkin77]

nnosipov в сообщении #1517193 писал(а):

Andrewkin77 в сообщении #1517190 писал(а):

Или это как раз тот способ, который требует перехода к функции?

Да, здесь придется много чего обосновывать. Нет, я имел в виду более простые преобразования выражения под знаком предела. Начните, например, со следующего переписывания:

$$\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=\left(\frac{1+1/n}{1-1/n}\right)^n.$$

Спасибо, этот предел я понял как сделать без перехода к функции. У меня просто ещё много похожих пределов, которые уже так просто не решаются. Я ведь буду прав, если, найдя предел функции, сошлюсь на определение предела по Гейне и скажу, что последовательность сходится к тому же числу?

[nnosipov]

Andrewkin77 в сообщении #1517213 писал(а):

Я ведь буду прав, если, найдя предел функции, сошлюсь на определение предела по Гейне и скажу, что последовательность сходится к тому же числу?

Да. (Правда, за рамками этого подхода остается случай, когда предел функции не существует, а соответствующая этой функции последовательность, тем не менее, сходится.)

[Andrewkin77]

nnosipov в сообщении #1517232 писал(а):

Да. (Правда, за рамками этого подхода остается случай, когда предел функции не существует, а соответствующая этой функции последовательность, тем не менее, сходится.)

Да, это я понимаю, спасибо. В моём случае все пределы существуют