2 определения фундированного множества

[GlobalMiwka]

Определение 1. Частично упорядоченное множество называется фундированным, если в любом непустом подмножестве есть минимальный элемент.
Определение 2. Частично упорядоченное множество называется фундированным, если в нём нет бесконечных убывающих цепей.

Определение. Частично упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если порядок является линейным и фундированным.

Пример. Множество натуральных чисел со стандартным порядком на них является вполне упорядоченным.

Доказать, что во вполне упорядоченном множестве $A$ у всякого элемента $a$ кроме максимального (если в $A$ есть максимальный элемент) имеется ровно один последователь. У всякого непредельного элемента есть ровно один предшественник.

Мои рассуждения. Возьмем элемент $a$ и рассмотрим множество $B$ элементов больших $a$. Так как множество А фундированно, то в множестве $B$ есть минимальный элемент, он и есть тот самый один последователь.
Снова возьмем элемент $a$ и рассмотрим множество $B$ элементов меньших $a$. Так как множество А фундированно, то в множестве $B$ не может быть бесконечно убывающей последовательности (процесса), значит, есть конечное кол-во между $a$ и минимальным элементом $B$, т.е. у $a$ есть один предшественник.

Далее.

Теорема. Для любых вполне упорядоченных множеств $(A,\leqslant_A)$, $(B, \leqslant_B)$ выполнено одно из двух условий: $(A,\leqslant_A)$ изоморфно (как линейно упорядоченное множество) некоторому начальному отрезку из $(B, \leqslant_B)$ или $(B, \leqslant_B)$ изоморфно некоторому начальному отрезку из $(A,\leqslant_A)$.

Часть доказательства.

По некоторым техническим причинам нам будет удобно расширить множество $B$, добавив к нему один новый элемент. Пусть некоторый элемент, который мы будем обозначать $\star$, не принадлежит $B$ (т.е., $\star\notin B$). Далее мы будем рассматривать отображения из $A$ в $B \cup\{\star\}$. При этом нам будет полезен некоторый линейный порядок на $B \cup\{\star\}$. Мы сохраним старый порядок на элементах $B$ и будем считать, что $\star$ больше всех элементов из $B$. Таким образом, элемент $\star$ является максимальным в $B \cup\{\star\}$.

Теперь.

Проверьте, что множество $B \cup\{\star\}$ с описанным порядком является вполне упорядоченным множеством.

не совсем понятно как множество $B \cup\{\star\}$ является вполне упорядоченным множеством?

Рассуждаю так. В множестве $B$ есть минимальный элемент $1_B$, далее $2_B=\min(B\diagdown\{1_B\})$, $3_B=\min(B\diagdown\{1_B,2_B\})$ и так до бесконечности. Полчается, что перед $\star$ бесконечная последовательность убывающих элементов, что противоречит Определению 2.

[iifat]

GlobalMiwka в сообщении #1516289 писал(а):

бесконечная последовательность убывающих элементов

Вы, вообще-то, построили бескнечную последовательность возрастающих элементов.

[ctdr]

GlobalMiwka в сообщении #1516289 писал(а):

...т.е. у $a$ есть один предшественник.

Существование предыдущего -- по определению (не) предельного элемента (стр. 65 Верещагина-Шеня). А единственность следует из полной упорядоченности. А ваше доказательство единственности я что-то не понял...

Я не специалист, я так, для подумать, а не для консультации.

> ...значит, есть конечное кол-во между $a$ и минимальным элементом $B$,

Нет, не обязательно конечное. Контрпример: $a=\omega+1$.

[iifat]

GlobalMiwka в сообщении #1516289 писал(а):

У всякого непредельного элемента есть ровно один предшественник

Как-то, имхо, длинно и непонятно. Предшественник есть ввиду непредельности, единственный — ввиду линейной упорядоченности, не?

[GlobalMiwka]

iifat в сообщении #1516294 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1516289 писал(а):

бесконечная последовательность убывающих элементов

Вы, вообще-то, построили бескнечную последовательность возрастающих элементов.

Получается говорить о бесконечно убывающей последовательности можно лишь только в том слуае, когда есть элемент, от которого можно вести отсчет, так же как и при бесконечно возрастающей последовательности. Получается бесконечно возрастающая последовательность не является противоположностью бесконечно убывающей, потому что нужен элемент отсчета, что не всегда можно выбрать.

ctdr в сообщении #1516295 писал(а):

> ...значит, есть конечное кол-во между $a$ и минимальным элементом $B$,

Нет, не обязательно конечное. Контрпример: $a=\omega+1$.

Ваш пример подпадает под пример, из этой же книги: некоторые элементы вполне упорядоченного множества могут не иметь непосредственно предыдущего. Например, в множестве $N+N$ есть два элемента, не имеющих непосредственно предыдущего (наименьший элемент, а также наименьший элемент второй копии натурального ряда). Такие элементы называют предельными.

Потому что никак мы, люди, не можем выбрать этого одного предшественника получается.

Можно провести доказательство так: рассмотреть подможество $C$ множества $B \cup\{\star\}$, которое а) либо принадлежит $B$, б) либо принадлежит $B \cup\{\star\}$, т.е. содержит $\star$. В случае а) $B$ и так фундированное, a в случае б) $C\cap B$ имеет минимальный элемент, а стало быть и всего подмножества $C$, т.е. у любого подможнества есть минимальный элемент, что подпадает под определение 1. Так как определения 1 и 2 эквивалентны, то хотелось бы доказать и через определение 2.

Если рассматривать элемента из $B$, то ведь оно $B$ итак фундированное, а если $\star$, то нельзя начать процесс убывания, что делать ?

[ctdr]

GlobalMiwka в сообщении #1516326 писал(а):

нужен элемент отсчета

Да, я тоже именно так понял.

GlobalMiwka в сообщении #1516326 писал(а):

Ваш пример подпадает под пример

Я имел ввиду ординалы. Мой $a$ имеет предыдущий -- $\omega$ :) Но можно взять и следующий (+2) если угодно. Это $\omega$ не имеет предыдущего.

А в примере $N+N$ видимо да, там всё $N$ элементом не является, и для контрпримера нужно взять $N+2$.

GlobalMiwka в сообщении #1516326 писал(а):

Можно провести доказательство так

Я бы тоже так рассуждал.

GlobalMiwka в сообщении #1516326 писал(а):

если $\star$, то нельзя начать процесс убывания

Опять-таки (как и в Вашем первом абзаце), нужен "стартовый" элемент, начиная с которого у Вас будет бесконечно убыв. последовательность. Берёте цепь (последовательность), она содержит какой-нибудь элемент из $B$? Берём его, конкретного, как элемент отсчета, и будет фундированность.

Если честно, мне кажется, это всё очень недалеко от определений. Ну например верх стр. 63, что сумма фундированных мн-в фундирована. Это ведь именно то что Вам здесь нужно, так? (и в терминах последовательностей, как Вы хотите).