Экстреммум функции нескольких переменных

[Alexey1]

Brukvalub, поправьте меня если я не прав. После поска частных производных и приравниванию их к нулю, получается система двух уравнений. Эта система имеет единственное решение, и это решение даёт минимум функции, разве из этого не следует, что этот локальный минимум является глобальным минимумом.

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #151603 писал(а):

Brukvalub, поправьте меня если я не прав. После поска частных производных и приравниванию их к нулю, получается система двух уравнений. Эта система имеет единственное решение, и это решение даёт минимум функции, разве из этого не следует, что этот локальный минимум является глобальным минимумом.

А почему следует? Рассмотрим, для простоты, одномерный случай. Функция $y = x^3 - 3x$ имеет единственный локальный минимум х=1, но на отрезке [-100 ; 100] она принимает наименьшее значение вовсе не в точке 1.

[Alexey1]

Но ведь в Вашем примере, $y''=6x$ не является знакопостоянной.
В приведённой же задаче, в точке $(1/2,0)$
1) Частные производные равны 0,
2) Вторые частные производные неотрицательны,
3) Гессиан положительно определён.
Функция является выпуклой здесь.

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #151617 писал(а):

Но ведь в Вашем примере, $y''=6x$ не является знакопостоянной, функция может иметь несколько локальных минимумов.

Чушь!!! Укажите эти несколько локальных минимумов.

Alexey1 в сообщении #151617 писал(а):

В приведённой же задаче, в точке $(1/2,0)$
1) Частные производные равны 0,
2) Вторые частные производные положительные,
3) Гессиан положительно определён.
Функция является выпуклой здесь.

Это уже совсем другая сказка, но она тоже не досказана...

[Alexey1]

Я изменил сообщение, мне следовало написать "на компакте, то есть на том множесве, которое Вы указали".
А что насчёт недосказанности?

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #151619 писал(а):

А что насчёт недосказанности?

Нигде ранее Вы не писали о дополнительных соображениях, основанных на второй производной. Да и сейчас слова:

Alexey1 в сообщении #151617 писал(а):

Функция является выпуклой здесь.

выглядят нелепо. Где это - здесь?

[Alexey1]

Brukvalub, не надо придераться к словам. Где здесь? Там где описываются условия. Там же написано, "В приведённой же задаче...". А вот Вы пишете и не поясняете "...не досказана" Где пояснения? Пояснить здесь Вы можете.

[ewert]

Стоит начать с того, что задача некорректна, т.к. функция двузначна. Если же искать минимум не $z$, а $z^2$, то задача тривиальна, не надо даже возиться с производными и прочими гессианами, достаточно выделить полный квадрат, и сразу получим точку $({1\over2};0)$ (это -- глобальный минимум, попадающий аккурат на границу). С максимумом сложнее -- тут надо честно подставлять уравнение окружности и искать максимум функции одной переменной, лучше в полярных координатах (в силу квадратичности функции максимум может быть только на окружности -- внутри или в углах).

Впрочем, и тут соображения симметрии с ходу говорят, что максимум обязан быть в левом углу полукруга, т.е. в точке (-10;0)...

(я, конечно, понимаю, что всё это оффтопик и предполагалось "честное" решение)

[Brukvalub]

Начнём с того, Alexey1, что в моем с Вами диалоге мне не нравится.
Вы все время выдвигаете какой-либо тезис, он по-началу бывает неполным, я его за это критикую, после чего Вы его дополняете и требуете от меня не придираться к словам. Такой стиль общения мне не подходит.
Теперь по сути:

Alexey1 в сообщении #151617 писал(а):

В приведённой же задаче, в точке $(1/2,0)$
1) Частные производные равны 0,
2) Вторые частные производные неотрицательны,
3) Гессиан положительно определён.
Функция является выпуклой здесь.

Вы по-прежнему указываете на выпуклость только в самой точке, в то время, как явно хотите использовать выпуклость на всей области. Вот я и задал Вам уточняющий вопрос:

Brukvalub в сообщении #151624 писал(а):

Alexey1 в сообщении #151617 писал(а):

Цитата:

Функция является выпуклой здесь.

выглядят нелепо. Где это - здесь?

И тут уже во второй раз читаю:

Alexey1 в сообщении #151628 писал(а):

Brukvalub, не надо придераться к словам. Где здесь? Там где описываются условия. Там же написано, "В приведённой же задаче...". А вот Вы пишете и не поясняете "...не досказана" Где пояснения? Пояснить здесь Вы можете.

В общем, продолжать общение в таком вот плане, в таком вот разрезе - нет ну ни малейшего желания....

[ewert]

ну ладно, давайте зафиксируем стандартную схему.

1). Находим точки даже не экстремума, а -- подозрительные на экстремум. Т.е. приравнивая к нулю первые частные производные. И подсчитываем значения целевой функции в этих точках (конечно, только попадающих в область). Гессианы -- фтопку, они в этой задаче не нужны.

2). Параметризуем каждый участок границы и находим подозрительные на экстремум точки соответствующих одномерных функций (естественно, учитывая только те, которые попадают на соответствующий отрезок параметра).

3). Перебираем все вершины границы.

Ну и потом из накопленных точек по рабоче-крестьянски выбираем наилучшую.