Предел от sinc функции под интегралом

[Anton_74]

Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et al. © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc.pdf

Problem 9.3

Show that for any positive pair, $a > 0$, $b > 0$

$ \lim_{ K \to \infty} \int_{-a}^{b} 2K sinc(2 \pi Kz)dz = 1$ (9.30)

given the integral value

$\int_{- \infty'}^{\infty} d \omega \frac{\sin \omega}{\omega} = \pi$ (9.31)


До этого по тексту выше приводилось описание вывода дельта-функции через предел
$\lim_{K \to \infty} I(z, K) = \delta (z)$ (9.29), где

$I(z, K) \equiv \int_{-K}^{K} dk e^{i 2\pi kz} = \frac{\sin (2 \pi K z)} {\pi z} = 2 K sinc(2 \pi Kz)$ (9.28)

Я вижу 2 возможных подхода, но почему-то не могу довести их до нормального ответа.

1) подинтегральное выражение в (9.30) подставить (9.28), меняя пределы интегрирования получить упрощение и скорее всего и как-то прийти к формуле (9.31)
2) просто взять интеграл (9.31) по формуле Ньютона-Лейбница и попробовать найти предел

Я попробовал оба варианта, но там получаются интеграла типа $\int \frac{e^{x}}{x}$. Может есть способ проще?

[svv]

В (9.30) домножим обе части на $\pi$ и заменим $\operatorname{sinc}(x)$ на $\frac{\sin x}x$. Какая напрашивается замена?

(Оффтоп)

Давно хочу попросить Вас сделать исправление в названии книги: заменить «et. all» на «et al.». Тут не должно быть английского слова all, это сокращение от латинского et alii 'и другие'.
https://ru.wiktionary.org/wiki/et_alii
Старые сообщения Вы уже не отредактируете, но хотя бы впредь...

[GAA]

Anton_74 в сообщении #1515970 писал(а):

просто взять интеграл (9.31) по формуле Ньютона-Лейбница и попробовать найти предел

Первообразная не выражается через элементарный функции (неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях). Есть много способов вычисления этого интеграла. Способы перечислены в словарной статье Вики: Интеграл Дирихле. В учебниках приводится подробный вывод. Например, дифференцирование по параметру применяется для вычисления этого интеграла в Т.2 (n.522, Применение к вычислению некоторых интегралов) книги Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Указанной в начальном сообщении книги у меня нет. Может в ней также вычисление этого интеграла приводится (или ссылка на литературу с выводом дана).

Upd Вычисление $\int_0^{+\infty} \frac {\sin x} {x} dx$ при помощи двойного требует некоторой аккуратности в обоснованиях. Поскольку двойной несобственный интеграл из словарной статьи Вики $\int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \, dt\, ds, s > 0$ не является сходящимся. А основные утверждения в стандартном курсе дифференциального и интегрального исчисления даются именно для такого (абсолютно) сходящегося двойного интеграла. Т.е. следует сначала работать с конечными пределами интегрирования, а уже потом перейти к пределу.

[Anton_74]

GAA в сообщении #1516042 писал(а):

Первообразная не выражается через элементарный функции (неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях). Есть много способов вычисления этого интеграла. Способы перечислены в словарной статье Вики: Интеграл Дирихле
.

Фраза "двойная интеграция" на википедии немного меня смутила.

Когда по полгода не интегрируешь то как-то забывются основные формулы, не то что интеграл Дирихле. Хотя, конечно, он мне попадался. Спасибо за напоминание. P.S. Я помню даже на хабре статью видел про интеграл Дирихле.

svv в сообщении #1515992 писал(а):

В (9.30) домножим обе части на $\pi$ и заменим $\operatorname{sinc}(x)$ на $\frac{\sin x}x$. Какая напрашивается замена?

Я сначала делал так пытался найти Интгерал



$\pi \int_{-a}^{b} 2 K sinc(2\pi K z) dz = \int_{-a}^{b} 2 K sinc(2\pi K z) \pi dz = \int_{-a}^{b} 2 K \frac{\sin (2\pi K z)}{2\pi K z} (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin (x)} {x} dx) dz$

Потом сделать замену переменных

$2\pi K z = x $
$dz = \frac{dx}{2\pi K }$
$z = b, x = 2\pi K b$
$z = -a, x = -2\pi K a$

$\int_{-a}^{b} 2 K \frac{\sin (2\pi K z)}{2\pi K z} (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin (x)} {x} dx) dz = \frac{1}{\pi}\int_{-2\pi K a}^{2\pi K b} \frac{\sin (x)} {x} (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin (x)} {x} dx) dx = \\ \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi K a}^{2\pi K b} (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin^2 (x)} {x^2} dx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi K a}^{2\pi K b} (\pi) dx = 2 \pi K (b + a)$

С ответом правда не сходится. Но я думаю, меня тут справедливо закидают какими-нибудь теоремами. Хотя я подобный подход видел тут http://www.claysturner.com/dsp/FTofSync.pdf (в конце второй страницы).

Но потом я подумал, что почему я все усложняю и решил сделать сразу замену в подинтгеральном выражении.

$\lim_{k \to \infty}\int_{-a}^{b} 2 K sinc(2\pi K z) dz = \lim_{k \to \infty}\int_{-2\pi K a}^{2\pi K b} 2 K \frac{\sin(x)}{x} \frac{dx}{2\pi K} = \\ \frac{1}{\pi} \lim_{k \to \infty}\int_{-2\pi K a}^{2\pi K b} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{1}{\pi} \int_{- \infty}^{ \infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{\pi}{\pi} = 1$

Подскажите, все верно?

[GAA]

Не вижу ошибок в последнем способе. Только исправить $k$ на $K$.

[svv]

Да, последний способ самый простой, если по условию уже дано (9.31). Я бы только предварительно домножил обе части (9.30) на $\pi$, тогда замена $\omega=2\pi K z$ сразу даёт
$\int\limits_{-a}^{b} \operatorname{sinc}(2 \pi Kz)\; 2\pi Kdz = \int\limits_{-A}^B \operatorname{sinc}(\omega) d\omega$, где $A=2\pi K a, B=2\pi K b$.
Аккуратное обоснование (даже при известном (9.31)) включает некоторую работу с пределами.

[Anton_74]

GAA в сообщении #1516065 писал(а):

Не вижу ошибок в последнем способе. Только исправить $k$ на $K$.

svv в сообщении #1516070 писал(а):

Аккуратное обоснование (даже при известном (9.31)) включает некоторую работу с пределами.

Спасибо, за помощь!