Доказательство р. р. mod 1 по определению

[nnosipov]

Как известно, последовательность дробных частей $\{\theta n\}$ ($n=1,2,\dots$) является равномерно распределенной по модулю 1 для любого иррационального числа $\theta$ (это более-менее моментально следует из критерия Вейля). Есть ли какие-нибудь учебно-методические тексты для школьников/студентов, где бы этот факт был доказан прямо по определению равномерно распределенной последовательности (возможно, для какого-нибудь конкретного числа $\theta$ типа "золотого сечения" $(1+\sqrt{5})/2$)?

В журнале "Квант" (см. рубрикатор https://kvant.ras.ru/key.htm) публикаций на тему равномерно распределенных последовательностей, похоже, вообще не было.

Upd. Впрочем, есть одна статья Арнольда: http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/01/kv0198arnold.pdf Но там никаких доказательств р.р. мод 1 нет, просто ссылка на результат Вейля.

[Евгений Машеров]

Что-то подобное вроде видел у Штейнгауза, "железные таблицы", но насчёт доказательства не уверен.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1515150 писал(а):

у Штейнгауза, "железные таблицы"

Я видел у Штейнгауза только "100 задач", а сейчас погуглил и нашел его "Задачи и размышления". Это в любом случае имеет смысл просмотреть, так что спасибо.

[Brukvalub]

nnosipov, добрый вечер! Не уверен, что это то, что Вам нужно, но в самом конце учебника Архипов, Садовничий Чубариков Лекции по математическому анализу есть Глава 21, Лекция 18, которая полностью посвящена изучению р.р. последовательностей.

[Евгений Машеров]

У него ещё на русском выходили "Математика - посредник между духом и материей" и "Математический калейдоскоп", но не уверен, что это не повторение других изданий.

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1515160 писал(а):

Архипов, Садовничий Чубариков Лекции по математическому анализу есть Глава 21, Лекция 18, которая полностью посвящена изучению р.р. последовательностей.

О, спасибо! По крайней мере, будет еще где почитать про критерий Вейля помимо известной монографии Кейперса и Нидеррейтера.

-- Вт апр 20, 2021 22:36:02 --

Евгений Машеров в сообщении #1515164 писал(а):

"Математический калейдоскоп"

Да, эту тоже видел.

[Евгений Машеров]

А это не оно?
Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Наука, 1985. — 408 с.

[DeBill]

nnosipov
В книжечке "Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2004 года" в разделе "Уголок олимпиадофила" есть статья А.Храброва "Теорема Дирихле и равномерно распределенные последовательности".
Там есть много чего интересного - в частности, и то что Вам надо (а также список литературы из 50 названий..). У меня эта книжечка есть, но доступна ли электронная версия - не знаю...

[nnosipov]

DeBill
Это ровно то, что нужно. Книжечка у меня случайно нашлась, и эту статью я просматривал когда-то, но, видать, подзабылось. Спасибо, что напомнили об этой серии книжек. Увы, в электронном виде эти книжки отсутствуют напрочь, что мне кажется довольно странным.

Евгений Машеров в сообщении #1515172 писал(а):

А это не оно?

Оно, но там сразу не на элементарном уровне.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1515185 писал(а):

Увы, в электронном виде эти книжки отсутствуют напрочь

Здесь я не совсем прав: на либгене чуть-чуть есть.

[Евгений Машеров]

Именно этой нету, есть более новые и одна постарше... 2015, 2016, 2017 и 1998.

[nnosipov]

Да, именно так. А жаль, конечно, хотелось бы иметь подобную библиотечку в электронном виде. Да и в бумажном виде их раньше найти было непросто (у нас, во всяком случае; все, что у меня есть, куплено в московских магазинах). Сейчас (когда их стало издавать МЦНМО) это не так критично, но вот почему-то питерские издания практически полностью отсутствуют в e-библиотеках. Интересно, почему (ведь такая литература явно была бы востребована).

[xagiwo]

Мне кажется, в статье http://kvant.mccme.ru/1978/05/chasto_li_stepeni_dvojki_nachi.htm этот факт называется "теорема о дробных частях" (стр.4, док-во на стр. 7).

[nnosipov]

xagiwo
Спасибо. У Храброва есть ссылка на эту статью (все-таки "Квант" про это дело писал).

[Sinoid]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1515185 писал(а):

Увы, в электронном виде эти книжки отсутствуют напрочь, что мне кажется довольно странным.

Просто интересно, где люди умудрялись находить такие книги? Мне (через маму) максимум, что удалось раздобыть бумажного - это Высшая алгебра Куроша и задачник Фаддеева, Сомнинского. Остальное - все по вышке. Дошло до того, что стали возвращать купленные книги продавцам.