Фактор-группа симметрической группы

[marie-la]

Задача: Доказать, что фактор-группа симметрической группы $S_4$ по группе $K=\{e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)\}$ изоморфна симметрической группе $S_3$.
Я повыписывала классы эквивалентности и сравнила таблицы умножения. Но это ведь такое себе решение. Наверное, на самом деле как-то просто можно решить.

[nnosipov]

marie-la в сообщении #1515146 писал(а):

Наверное, на самом деле как-то просто можно решить.

Сказать, что это очевидно? (Групп порядка 6 не так много.)

marie-la в сообщении #1515146 писал(а):

Но это ведь такое себе решение.

По-моему, вполне нормальное решение.

[marie-la]

nnosipov в сообщении #1515147 писал(а):

Сказать, что это очевидно? (Групп порядка 6 не так много.)

Ой, она всего одна, да?

[nnosipov]

Если не абелева, то да.

[vpb]

Если рассмотреть какое-нибудь разбиение множества из четырех точек на два двухэлементных множества, то есть неупорядоченных пары, вроде $\{13, 24\}$ ($=\{\{1,3\},\{2,4\}\}$), и подействовать какой-то перестановкой из $S_4$ на такое разбиение, то опять получим разбиение на две пары. Короче, $S_4$ действует на множестве всевозможных разбиений на две пары. А таких разбиений как раз три: $\{12,34\}$, $\{13,24\}$, и $\{14,23\}$. Вот и гомоморфизмы из $S_3$ в группу перестановок этих трех разбиений, которая изоморфна $S_3$. И легко увидеть непосредственно, что любой элемент из "четверной подгруппы" любое разбиение на две пары сохраняет, т.е. четверная подгруппа --- это и есть ядро этого гомоморфизма.

Вообще, нормальное строение группы $S_4$ разобрано в учебнике Кострикина, том 3, глава1, параграф 4, где-то ближе к началу параграфа.