Уравнения движения для спиновой цепочки

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
В работе Phys. Rev. B 63, 214422 рассматривается спиновый Гамильтониан

$$H=-\frac12 \sum \limits_n J_x S_n^xS_{n+1}^x+J_y S_n^yS_{n+1}^y+J_z S_{n+1}^zS_n^z-D\sum \limits_n (S_n^z)^2$$

И после выводятся уравнения движения для спинов-векторов.
Никак не могу получить эти уравнения в таком виде.
К примеру для $S_n^x$:
Уравнение Гейзенберга: $\dot S_n^x=\cfrac{1}{i \hbar}[S_n^x,H]$
Коммутационные соотношения: $[S_n^\alpha, S_m^\beta]=i \hbar \delta_{mn} \varepsilon^{\alpha \beta\gamma}S_n^\gamma$, где $\delta,\,\,\varepsilon$ символы Кронекера и Леви-Чивиты, соответственно.

$$\dot S_k^x=-\cfrac{1}{2i \hbar}\left\{\sum \limits_n J_x [S_k^x, S_n^xS_{n+1}^x]+J_y [S_k^x, S_n^yS_{n+1}^y]+J_z [S_k^x, S_{n}^zS_{n+1}^z]+2D\sum \limits_n [S_k^x, S_n^z S_n^z]\right\}=$$

Используя свойство $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ выражение в фигурных скобках

$$\sum \limits_n J_y [S_k^x, S_n^y]S_{n+1}^y+ J_y S_n^y[S_k^x,S_{n+1}^y]+J_z [S_k^x, S_{n}^z]S_{n+1}^z+J_z S_{n}^z [S_k^x, S_{n+1}^z]+2D\sum \limits_n S_n^z[S_k^x, S_n^z]+[S_k^x, S_n^z ]S_n^z$$

Избавляясь от суммы и вычисляя коммутаторы

$$\dot S_k^x=-\cfrac{1}{2}\left\{ J_y S_k^zS_{k+1}^y+ J_y S_{k-1}^yS_k^z-J_z S_k^yS_{k+1}^z-J_z S_{k-1}^z S_k^y-2D S_n^zS_k^y-2D S_k^y S_n^z\right\}$$

Рассматривая $S_n^\alpha$ как компоненты обычного вектора

$$\dot S_k^x=-\cfrac{1}{2}\left\{ J_y S_k^z(S_{k+1}^y+S_{k-1}^y)-J_z S_k^y(S_{k+1}^z+S_{k-1}^z)\right\}+2D S_n^zS_k^y$$

Получились абсолютно противоположные знаки. Укажите на ошибку пжл. Или это норма рассматривать эволюцию назад? Так как, я такое встречал в нескольких статьях, причем высокорейтинговых.