Коэф. затухания пружинного маятника vs. свойства пружины

[Fizykochemik]

Уважаемые Коллеги,

есть линейная пружина с прикрепленной массой совершающая затухающие колебания $\ddot x(t) +2\beta \dot x(t) +\omega_0^2x(t)=0$. Все формулы для решения известны и доступны.

Меня интересует зависимость $\beta$ от свойств системы. Пусть $\beta=\beta_1+\beta_2$.

Первый фактор это сила сопротивления среды $\beta_1$, которая зависит от площади сечения прикрепленного тела и динамической вязкости среды, напр. для шарика описывается формулой Стокса $F_r=6\pi r\eta v$. Этот фактор включает в себя сопротивление движению пружины, который тоже можно как-то оценить. Понимаю, что здесь можно обсуждать применимость зависимости от $v$, а не $v^2$ и другие детали, но мой вопрос не про это.

Если мы пренебрежём сопротивлением среды, то колебания будут по-прежнему затухающие. В этом случае из-за изменения внутренней энергии пружины, её нагревания.
Вопрос - как оценить $\beta_2$ в этом случае на основе свойств пружины - количества витков, толщины проволоки (прута), материала и т.д. Есть формулы, которые связывают жесткость пружины и с количеством витков и диаметром, но мне нужно оценить потери механической энергии системы. Можем ли мы утверждать, что $\beta_2$ тоже стоит перед $v$? Также меня интересует соотношение $\frac{\beta_1}{\beta_2}$. Предполагаю, что для воздуха и маленького тяжелого груза $\beta_2\gg \beta_1$.

Колебания кристаллической решётки, изменение среднего расстояния между атомами металла, физика фононов, связь энергии решётки со средней энергией нормальных колебаний, тензор деформаций? В каком направлении двигаться? Опять же предполагаю, что тут много эмпирических и полуэмпирических моделей.

Буду признателен за ссылки и советы.

[Fizykochemik]

Мне удалось частично получить ответ на мой вопрос.

1. Есть социально близкая тема в другой ветке
topic142001.html

2. Вопрос неприменимости записанного выше уравнения для $\beta_2$ обсуждается напр. в статье
Josué Njock Libii "Demonstration of energy dissipation in a spring-mass system undergoing free oscillations in air".
Наверное, есть что-то более уважаемое и цитируемое, но я не нашел.

3. Мне посоветовали ознакомится с главой 15 книги V. Berdichevsky "Variational Principles of Continuum Mechanics", а также параграфом 17.6 этой же книги, в которой пружина рассматривается как эквивалентный стержень.

Мне кажется, что должны быть какие-то полуэмпирические модели. Возьмём, например, пружинный механизм в космосе, кто-то же должен был об этом думать.