измеримые функции с двумя несравнимыми периодами

[redhat]

Предположим измеримая по Лебегу функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ имеет два периода $p$ и $q$. Т.е. для почти всех $x$ $f(x)=f(x+p)$ и $f(x)=f(x+q)$. Причем $p/q$ иррационально. Вопрос: верно ли, что $f$ может быть только константой п.в.?

[AD]

Так, че-то я думал, что это очевидно ... Ну ладно, вот вам такое рассуждение.

Если функция $f$ не есть константа почти всюду, то существует такая констатна $a$, что $\mu A>0$ и $\mu(\mathbb{R}\setminus A)>0$, где $A=\{x: f(x)>a\}>0$ (и, следовательно, обе меры бесконечны). Зафиксируем любую точку $x\in A$. Рассмотрим последовательность отрезков $I_n^x=\bigl[x-\frac1{2^n},x+\frac1{2^n}\bigr]$, обозначим $A^x_n=A\cap I^x_n$, $\rho^x_n=\frac{\mu A^x_n}{\mu I^x_n}$ и $2A^x_n=\{x+2t: x+t\in A^x_n\}$ - раздутое в два раза вокруг точки $x$ множество $A^x_n$. Ясно, что $\rho^x_1<1$, иначе $A$ имело бы полную меру. Из периодичности функции следует, что $2A^x_n\subset A^x_{n-1}$. Следовательно, $\rho^x_{n+1}\le\rho^x_n\le\cdots\le\rho^x_1$, и, следовательно, $\rho(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\rho^x_n<\rho^x_1<1$, и всё это верно для почти всех $x$, а это противоречит тому, что почти все точки измеримого множества $A$ являются его точками плотности.

[AD]

AD писал(а):

Из периодичности функции следует, что ...

Упс, не следует. Думаю дальше.

[AD]

Эй, redhat, вы тут еще? Я, кажись, придумал.

Ну вот для локально-суммируемой (то есть на всех отрезках) функции $f$ вроде всё просто. Смотрим на неопределенный интеграл. Вычтя из $f$ константу, будем считать, что она в среднем равна нулю на каком-то (и, следовательно, на любом) отрезке $[a,a+p]$. Тогда неопределенный интеграл $F$ будет иметь период $p$. Ясно, что в этом случае наша $f$ будет иметь нулевое среднее и на всех отрезках $[a,a+q]$ (ведь иначе интеграл по таким отрезкам будет давать неограниченный рост $F$ на бесконечности). Ну а раз так, то мы получим непрерывную функцию $F$, равную данному числу на всюду плотном множестве, значит, она константа.

А теперь как от локально-суммируемых функций в одну строчку перейти к произвольным? Считаю до трёх ... Раз ... Два ... Не слышу ...

[redhat]

AD писал(а):

Эй, redhat, вы тут еще? Я, кажись, придумал.

Ну вот для локально-суммируемой (то есть на всех отрезках) функции $f$ вроде всё просто. Смотрим на неопределенный интеграл. Вычтя из $f$ константу, будем считать, что она в среднем равна нулю на каком-то (и, следовательно, на любом) отрезке $[a,a+p]$. Тогда неопределенный интеграл $F$ будет иметь период $p$. Ясно, что в этом случае наша $f$ будет иметь нулевое среднее и на всех отрезках $[a,a+q]$ (ведь иначе интеграл по таким отрезкам будет давать неограниченный рост $F$ на бесконечности). Ну а раз так, то мы получим непрерывную функцию $F$, равную данному числу на всюду плотном множестве, значит, она константа.

А теперь как от локально-суммируемых функций в одну строчку перейти к произвольным? Считаю до трёх ... Раз ... Два ... Не слышу ...

забыл сказать, спасибо, тема закрыта:

If there are two incommensurable periods, then there is a dense set of
periods. Consider the set A(a,b) = {x: a < f(x) < b}. If this has
measure > 0, there is some interval J such that
m(J interset A(a,b)) > m(J)/2. It is then easy to see that
m(I intersect A(a,b)) >= m(I)/2 for every interval of I of the same length
as J, then that m(R \ A(a,b)) = 0, and finally that f is equal a.e. to a
constant.

Cheers,
Robert Israel

[AD]

Чё-то я ничё не понял в этом рассуждении. Ну пусть даже

redhat в сообщении #151797 писал(а):

m(I intersect A(a,b)) >= m(I)/2 for every interval of I of the same length

действительно

redhat в сообщении #151797 писал(а):

easy to see

, но как отсюда следует,

redhat в сообщении #151797 писал(а):

that m(R \ A(a,b)) = 0

Помогите разобраться!

Добавлено спустя 6 минут 19 секунд:

А, щас, последнее дошло вроде. Это потому, что интервал J можно выбрать сколь угодно малым. То есть потом та же теорема о точках плотности.

Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды:

Да, понятно. Это решение, наверное, и должно было быть первым попавшимся, но я его прозевал ...

[AD]

Да, и еще. Один чел в оффлайне меня просветил, что эту задачу можно переформулировать так: сдвиг окружности на несоизмеримое с ее длинной число является эргодическим преобразованием. То есть это утверждение целая ветвь математики считает очевидным и ключевым, и понятно, где его читать.